Tópicos de Cálculo Integral.

1 10 2010

Tema 5. Otro problema de aplicación del Cálculo Integral.

Después de que por accidente, sin saberlo, el maestro albañil del tema 2 resultó beneficiado con un dinero extra, ahora tiene un  problema.

Dado que es un experto en su oficio (indiscutiblemente) fue contratado para realizar otra obra. Esta vez el trabajo consistiría en “enjarrar” una barda, con la elegante terminación mostrada en la figura. Convino con el ‘patrón’ a un precio de $35.00 por metro cuadrado.

El maestro albañil a su vez, negoció con un conocido suyo (“chalán”) para que lo hiciera pagándole a $15.00 el metro cuadrado de “enjarre” ¡Uff! (la explotación del hombre por el hombre).

Iniciaron los trabajos y al terminar el segundo día hubo problemas entre el jefe albañil y su “chalán”. Todo sucedió por una indiscreción del dueño de la finca el cual informó al “chalán” el precio que pagaría por metro cuadrado de “enjarre”. Después de enterarse que el patrón estaba pagándole a su jefe albañil a $35.00 el metro cuadrado, el “chalán” le reclamó, cuentan que se dijeron así…

Oye, no seas %#$&”! me estás pagando una /&%&$#”! por metro cuadrado. –Dijo el “chalán”.

%&$#)=”!# Yo hice el trato con el patrón, él me buscó a mí, por lo tanto tengo que ganarme una “feria” ¿o no %&$#?/&!?… -Dijo el jefe albañil.

-“Po´s” sí &%$”$?! pero no abuses, es muy poco lo que me estás pagando. Si no me pagas lo menos 25 “varos” el metro cuadrado mañana ni &%$%$”! que vengo. -Dijo el “chalán”.

-¡Ah! No seas &%$#”$! ¿Me vas a dejar tirada la obra? Me comprometí a terminarla en un mes… -Dijo el jefe albañil.

-Me vale ¡#$”&(/%!!? o me pagas a 25 “varos” el metro cuadrado o aquí la dejamos y me pagas lo que hice en estos dos días.

El jefe albañil aflojó un poco porque le urgía terminar la obra.

-Ok´ !&%$?/& te lo pago a 20 “varos” ¿sale?

-Ni #$”&(/%S 25 “lanas” o nada… tú te ganarías 10 “lanas” sin hacer nada (&%$#%% 

-22 “varos” es mi última oferta C#$%”/(% ¡Lo tomas o lo dejas…!

-Ni #$”&(/%S mejor págame lo que hice en los dos días.

El jefe albañil decidió terminar la discusión…

-“Orale” pues ?¡?#$%”/(%!!! Vamos a medir lo que hiciste…

-Es un tramo completo de 8 Metros lineales y un “pedazo más” -Dijo el “chalán”. (toda el área sombreada de color verde en la figura).

-¿Y cómo lo medimos? -Preguntó el “chalán”.

-Ya una vez me pasó igual -dijo el jefe albañil-, saquemos la media de las dos alturas primero del tramo de 8 Metros y después del de 1.5 metros y multiplicamos por el ancho de cada caso.

-Que medias ni que la %?!&, vamos midiendo “parejo”. Medimos largo y ancho del punto más alto del tramo completo y el otro tramo va en compensación por los huecos que se forman… ¿Estamos?

-¡”Orale” pues! -Consintió el maestro albañil.

-Entonces: 4×8=32 Metros2 Dan un total de: 32×15.00 = $480.00

-Vienen de “ahí” 480 “varitos”. -Dijo el “chalán”.

-Van. -Dijo el maestro albañil.

Una vez concluida la transacción, dijo el maestro albañil…

-Entonces, ¿”Compas” como siempre?

-¡Sale pues. “Ahí la vemos”! -Respondió el “chalán”.

Después de que se fue el “chalán” el maestro albañil pensó, ¿me “tranzaría” este $%#”?! o me lo “trancé”? Voy a medir sacando la mitad de las alturas y multiplicándolas por lo ancho de cada caso.

Y empezó a medir…

Hizo cuentas…

(4+2.4)/2 = 3.2 M

A1=3.2 x 8 = 25.6 M2

De la parte restante, al medir la altura mayor resultaron: 3.3 Metros. Entonces…

(2.4+3.3)/2 = 2.85 M

A2=2.85 x 1.5 = 4.275 M2

Sumando ambas áreas resultan:

A total = 25.6 + 4.275 = 29.875 Metros2

29.875 x 15 = $448.12 Pesos.

Da un total de: 448 pesos con 12 centavos.

¡&/%$”?¡!#°! -Exclamó el maestro albañil- Le pagué 480 Pesos, este “$%&/$%¡¿ me tranzó con más de 30 Pesos.

Así me dijeron que había sido la conversación entre el “chalán” y el maestro albañil, y las conclusiones a las que llegó este último, no lo inventé ¡Ja!.

Pero dejemos al maestro albañil rumiando su coraje por haber perdido en la transacción más o menos lo de tres cervezas, unos cacahuates y un gansito marinela con relleno de fresa y crema, a los cuales era bastante aficionado, y preguntémonos (sobre todo tú Lector/a que estudias Cálculo Integral) ¿Cómo podríamos saber cuál es la cantidad de dinero exacta? Para determinarla es obvio que primero necesitamos conocer el área exacta, apliquemos pues matemáticas superiores (modernas).

Encimamos una Parábola en la curvatura de la barda.

Determinemos la ecuación de la Parábola.

¿Qué datos tenemos?

Vértice, coordenadas: (h=0; k=4)

Un punto cualquiera (P) de la Parábola, coordenadas: (x1=4; y1=2.4)

La Parábola se relaciona con la fórmula: (x-h)2=-4p(y-k)

Sustituimos las coordenadas del Vértice y del punto P.

(4-0)2=-4p(2.4-4)

(4)2=-4p(-1.6)

16=6.4p

p=16/6.4=2.5

Sustituimos el valor de p y las coordenadas del Vértice en la ecuación o fórmula que se relaciona con Parábola…

(x-0)2=-4(2.5)(y-4)

x2=-10(y-4)

x2/(-10)=y-4

y=-(x2/10)+4

De esta manera concluimos que la ecuación que sigue la curva es:

y = (-x2/10) + 4

Ahora calculamos la integral de la función obtenida, entre los límites: -4 y 4


Tenemos pues un total de: 27.73 M2 en el tramo de 8 metros lineales.

Pero después de los 8 Metros todavía el “chalán” “enjarró” 1.5 Metros lineales.

Nota. Observa que los 1.5 Metros lineales restantes están entre las coordenadas 4 y 5.5 pero es igual que si estuvieran entre -4 y -2.5 (en ambos casos es la misma figura), entonces, si queremos obtener el área del espacio existente entre 4 y 5.5 tenemos que calcularla entre -4 y -2.5 ya que hacerlo entre 4 y 5.5 se “saldría” de la curvatura de la Parábola limitada por el eje X (más adelante entenderás por qué “no da” si la calcularas entre 4 y 5.5 -o quizá desde ahora lo intuyas-).

Después de calcular esta última área la sumamos a la primera.

Hagámoslo…


Sumando ambas áreas resultan…

Área Total = 27.7333 + 4.3875 = 32.1208 M2

Multiplicando por los $15.00 dan un total de: $481.81

Ahora analicemos todos los resultados.

1. El maestro albañil y su “chalán” acordaron el pago formando un simple rectángulo con la mayor altura y el ancho de un tramo de barda (8 Metros), el resultado fue de: $480.00
2. Calculando las alturas medias y multiplicándolas por el ancho de cada caso resultaron: $448.15
3. Aplicando Cálculo Integral el resultado fue de: $481.81

Concluimos entonces que en realidad el que resultó “tranzado” con poco menos de $2 Pesos fue el “chalán”.

Nótese que esta vez casi coincidieron el “tanteo” que a veces hacen las personas intentando simplificar las operaciones, con un procedimiento exacto como es el Cálculo Integral. Claro, la absoluta gran mayoría de las veces no sucede así y sería un caso extraordinario que ambos resultados fueran exactamente iguales.

Ahora bien, ¿este problema lo hubieras podido resolver con matemáticas anteriores al Cálculo Integral? La respuesta es No. Podrías quizás aproximarte al resultado, pero exacto-exacto… NO. He ahí las bondades de las matemáticas superiores que significan como tal vez ya te habrás dado cuenta, otro nivel de conocimiento.



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4 responses

18 09 2012
Juan J. Velázquez R.

Que tal Ing. Guerrero, fui su alumno exactamente hace un año del curso de cálculo integral que imparte, de verdad que ese curso me sirvió bastante y supongo que es la base para cualquiera ingeniería y ahora me ha sido de gran ayuda pues su manera de enseñar es excepcional, ojalá y no cambie la manera de enseñar (ejercicio tras ejercicio) pues como usted nos decía; “la única manera de aprender matemáticas es practicar y practicar”
Saludos y felicidades por las 6000000 de visitas.
…………

Hola Juan…
Me da gusto saludarte y saber que te ha servido lo que aprendiste en la escuela.
Las matemáticas son así, lo básico que aprendes hoy mañana lo aplicas en problemas más importantes, como seguramente es tu caso. Y “no hay de otra sopa”, es resolver problema tras problema hasta el punto en el que encuentras el centro de todo.
Recuerdo tu persona como uno de mis mejores alumnos, sé que seguirás siendo igual de inteligente, atento, respetuoso y trabajador con tus nuevos maestros.
Te envío un saludo cordial.
Ing. I. Guerrero Z.

22 07 2011
Jose M Chavira

hasta me dieron ganas de retomar mis viejos libros de calculo

1 10 2010
Carlos Cisneros M.

Estimado Ing. i. Guerrero, le escribo para agradecerle el que sea un excelente maestro, que si hubiera tenido instructores como usted en la catedra quiza las cosas hubieran sido muy diferente, después de tantos años y de concluir una carrera alejado del calculo y las matematicas superiores debido a que nunca un profesor supo darme un ejemplo de la aplicación del cálculo sobre la vida real, hoy me topo con su pagina por casualidad y veo este ejemplo tan claro,unque no sencillo y me atrevo a sentir mayor lastima por aquellas personas que ejercen la docencia sin una vocación real. Solo me resta felicitarlo por ser buen maestro, y que la felicidad lo alcance en toda su vida.
Atentamente. Lic. Carlos Cisneros M.
…………..

Hola Lic. Carlos…
Muy agradecido por sus palabras.
Un abrazo.
Ing. I. Guerrero Z.

5 12 2011
MORGAN

BUENAS TARDES, BUSCANDO EL PRECIO REAL DE CUANTO CUESTA EL METRO CUADRADO DE ENJARRE EN MUROS, VÍ SU EJERCICIO DE CALCULO INTEGRAL Y ESTÁ MUY INTERESANTE, LE ENVÍO UN CORDIAL SALUDO Y CREO QUE A MUCHOS ESTUDIANTES LE SERÁ UTÍL. GRACIAS POR COMPARTIR SUS CONOCIMIENTOS.

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