Tópicos de Cálculo Integral.

22 09 2010

Tema 3. Iniciando con fórmulas de Cálculo Integral.

Hay integrales DEFINIDAS e INDEFINIDAS. Son DEFINIDAS las que te permiten obtener valores específicos de área/s bajo una curva. Son INDEFINIDAS (antiderivadas o primitivas), las que dejas expresadas en función de literales y además agregas una constante. Estas últimas te sirven para ejercitarte en la materia, y son las que veremos primeramente puesto que por ahora lo que necesitas es adquirir las habilidades necesarias para trabajar con seguridad en esta rama de las matemáticas.

Cuando se utilizan fórmulas de Cálculo Integral (o Diferencial) tienes que aplicar cierta lógica, lo primero es observar cómo están construidas, en muchos casos la clave está en el exponente de la variable (literal), por ejemplo en la siguiente…

Traducida al lenguaje común sería: “la integral de una variable (X) elevada a un exponente (n) es igual al cociente (división) de la misma variable (X) elevada a su exponente (n) más 1, sobre su exponente (n) más 1, más una constante que se agrega al resultado”.

¿Complicado de entender? ¡Bah! Puedo asegurarte que la aprenderás rápidamente resolviendo algunos ejercicios, va el primero…

Sea f(x)=x3, hallar su integral.

Recuerda que igual podría decir sea: y=x3 También debes recordar que una función (o ecuación) al graficarla puede representar cualquier cosa, por ejemplo en este caso al darle valores a X y obtener los correspondientes a Y resulta una Parábola Cúbica (similar a la de la figura de al lado) misma que podría significar: la trayectoria de los primeros cohetes que hicieron en la NASA, una S vista por un disléxico, un tramo de una carretera, un tramo de un río, el “chanfle” que le das a la pelota cuando juegas fútbol, las utilidades de una empresa en cierto periodo, un borracho caminando hacia quién sabe dónde, la demanda de un producto, la curvatura que hace el cuerpo de una persona sentada, una cascada, un tobogán, etc.

Entonces quedaría…

Alguien podría escribir el resultado anterior de la siguiente manera:

= (1/4)x4+C.

Que es exactamente lo mismo.

El problema surge cuando alguien te cambia “la jugada” y te escribe por ejemplo:

Sea f(x)=√x, hallar su integral.

En realidad es la misma fórmula la que debes utilizar, solo que en este caso no hay exponente. En estos casos procede aplicar una de las propiedades de las raíces misma que te permite “convertirlas” a exponentes, es decir:

√x = x½

Te quedaría entonces:

El resultado anterior también podrías expresarlo de la forma:

= (2/3)x3/2 + C

O también como:

= (2/3)√x3 + C

En los tres casos el resultado es exactamente igual solo cambia la forma de expresarlo.

Ahora resolvamos la siguiente integral.

Apliquemos el criterio anterior, así que, “manipulemos” la expresión para hacerla que se “parezca” a la fórmula. Primero quitamos la raíz cúbica para expresar la función en forma de potencia, luego “movemos” el denominador al numerador y procedemos a integrar…


Nota. Observa cómo al “mover” del denominador al numerador (de abajo para arriba) una literal elevada a una potencia (X1/3) el exponente cambia de signo. Igual sucedería si hicieras lo contrario.

Pero… ¿y cómo podríamos comprobar si efectivamente el resultado es correcto?

Bueno… para comprobar una Integral se utiliza el Cálculo Diferencial, por lo que tendríamos que derivar el resultado y si llegamos a la función inicial querría decir que lo hicimos bien. En el siguiente tema comprobaré esta última integral, mientras tanto –para que te diviertas un rato- resuelve las siguientes…



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