Tópicos de Cálculo Integral.

6 09 2010

Tema 1c. ¿Qué es el Cálculo Integral? ¿Para qué sirve? ¿Con qué se come?

Continuación…

Para calcular el área bajo una curva Newton-Leibniz trabajaron a partir de pequeños segmentos de área rectangulares, buscaban la dichosa cuadratura de la curva, luego los sumaron todos y expresaron el total como la sumatoria desde 1 hasta ∞ de la función que representa la curva:

 

Pero… entendamos lo anterior.

En la expresión matemática puedes observar que f(xi)•Δxi es un producto (siempre que calculas áreas efectúas una multiplicación), y en este caso es la multiplicación del valor que la función adquiere en sus diferentes puntos por el valor que x adquiriría al incrementarse en pequeños segmentos de casi cero. El símbolo Σ (sigma) representa la suma del total de las áreas obtenidas. El límite (lim) indica que el proceso se realizará con segmentos de x que tienden prácticamente a cero.

Después, la forma de escribir lo anterior cambió a la siguiente:

Hasta que se llegó a esta:

La S alargada representa la Integral de una función. En todo lo anterior además de Newton y Leibniz intervinieron matemáticos como: Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann, y otros.

Obviamente en todo este asunto está inmerso el Cálculo Diferencial, y no podía ser de otra manera ya que el Cálculo Integral según Isaac Barrow es un procedimiento inverso al Cálculo Diferencial. Se trata pues de descubrir a partir de la derivada de una función cuál es la función que la produjo, dicho a manera de ejemplo, si con la derivada descubres la posición de un objeto, ahora se trata de que con la posición descubras cuál es la función que la produjo.

Entonces Newton hizo como dice la canción: “de reversa…“. Nota. Si eres sensible a las imágenes no veas el video.

Por ejemplo:

Sea la siguiente función de área: f(x)=x3/3; igual puedes tener: y=x3/3

Incrementas x e y, y obtienes:

y+Δy = (x+Δx)3/3

Δy = [x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3]/3 – y

Δy = [x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3]/3 – x3/3

Δy = x3/3 + 3x2Δx/3 + 3x(Δx)2/3 + (Δx)3/3 – x3/3

Δy = x2Δx + x(Δx)2 + (Δx)3/3

Δy/Δx = x2Δx/Δx + x(Δx)2/Δx + (Δx)3/3(Δx)

lim Δy/Δx = x2 + x(Δx) + (Δx)2/3
Δx→0

lim Δy/Δx = x2 + x(0) + (0)2/3
Δx→0

lim Δy/Δx=x2
Δx→0

Expresado en lenguaje común: la función de la cual partió f(x)=x3/3 es precisamente: y=x2

Cuando haces lo anterior en realidad estás aplicando la regla de los cuatro pasos, y ya sabes que te resultará lo mismo si aplicas la fórmula para derivar una función Xn. Entonces, concluyendo, tienes una función, la integras y obtienes un resultado, el cual si luego lo derivas con ello regresas al punto inicial.

¿Pero qué caso tendría ir de un lado al otro y viceversa?

Bueno, el asunto no tendría ningún “chiste” para nadie, salvo el de practicar yendo de un lado al otro y comprobar que efectivamente alguien supo derivar o integrar bien, si no es que se tomara la función que representa a una curva y se integrara. Por ejemplo, al graficar la función f(x)=x2 ya sabes que obtendrás una Parábola con vértice en el origen y que se abre hacia arriba, y si la derivas ya sabes que obtendrás la pendiente general de la curva, y si quieres una pendiente particular de la misma simplemente sustituyes el valor de x en la derivada y con ello la obtienes. Ahora bien, si integras la misma función f(x)=x2 obtienes precisamente el área general bajo la curva y si luego quieres determinarla entre un par de valores de x sustituyes uno y otro, haces una resta y obtienes esa área particular.

Esas fueron -más o menos- las ideas de Newton-Leibniz, a veces claras, a veces no, pero al final de cuentas ideas fundamentales que permitieron que otros grandes matemáticos a lo largo de la historia hasta nuestros días fueran perfeccionando la técnica hasta llegar a lo que conocemos actualmente.



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3 responses

22 03 2012
toño

no entiendo al calculo me podria qyudar porfax se lo agrdeceria.
…………

Hola Toño…
Necesitas estudiar conceptos básicos de Geometría Analítica y de Cálculo Diferencial, dicha información está también aquí en el blog, de otra manera veo complicado que entiendas al cálculo integral.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

16 03 2011
Marco

Ing. tenga un bien día ojala pueda leer la siguiente consulta le escribo desde Peru. Aca por cada tomacorriente o interruptor instalado se cobra de 5 a 10 soles dependiendo de la cantidad a instalar. Ahora bien mi pregunta es cuanto cobrar por cambiar un interrupotor o tomacorriente quebrado por uno nuevo, cree ud que se deberia cobrar como si se estuviese instalando uno nuevo. Gracias por la respuesta necesito presupuestar un trabajo. Gracias.
……………..

Hola Marco…
Definitivamente no. Un 50 o quizá un 60 % por ciento del valor que mencionas me parecería justo.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

12 10 2010
ROBERTO GUZMAN

SALUDOS ING. I. GUERRERO

UNA CONSULTA SOBRE LOS TOMA CORRIENTES.
HE ESTADO CONECTANTO LA FASE EN LA RANURA MAS PEQUEÑA Y EL NEUTRO EN LA MAS GRANDE, PERO DERREPENTE LEO ALGUN LIBRO DONDE DICE QUE LA FACE SIEMPRE VA EN LA RANURA GRANDE.

EN REALIDAD EN QUE RANURA DEBE IR LA FASE O POSITIVO.

GRACIAS POR TODO ING.
…………….

Hola Roberto…
¿En que libro lo leiste? Busca en la red y encontrarás que la Fase siempre debe conectarse en la terminal de la ranura pequeña.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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