Tópicos de Cálculo Integral.

24 08 2010

Tema 1b. ¿Qué es el Cálculo Integral? ¿Para qué sirve? ¿Con qué se come?

Continuación…

Pues no, don René Descartes (casi contemporáneo de Newton y Leibniz) anduvo muy entretenido enseñando a graficar a su graciosa majestad la Reina Cristina de Suecia, tanto, que no le alcanzó el tiempo más que para estudiar algunas curvas (no se sabe si las de la Reina o las geométricas) eso sí, muy de madrugada, hecho que le costó la vida como ya se sabe, pero en fin, su Geometría Analítica alcanzó para descifrar varios enigmas de la Parábola, sobre todo longitudes de la misma, pero de áreas que se sepa Descartes no escribió nada. Otros grandes matemáticos, por ejemplo Galileo estudió la trayectoria parabólica que siguen los objetos al lanzarse y caer (tiro parabólico), o también Apolonio que vivió 200 años antes de Cristo quien hizo una de las principales aportaciones, observó (seguramente a través de espejos metálicos) que los rayos de luz emitidos desde el punto focal de una Parábola se reflejan todos de forma paralela entre sí, efecto que actualmente es utilizado en las antenas parabólicas que vemos en todos lugares, pero… ¿y el área?

¡Ufff! Afortunadamente existió Arquímedes, un griego sumamente inteligente -un genio sin duda, de esos que nacen uno cada mil años- quien viviera 250 años antes de Cristo, y que demostró desde entonces -entre muchas cosas- que el área de un segmento de una Parábola equivalía exactamente a 4/3 del área de un triángulo inscrito en él, es decir, calculas el área del triángulo sumas 1/3 de la misma y ya está, con ello obtienes el área del segmento de la Parábola limitada por la recta (cuerda) que coincide con el lado mayor del triángulo, solo que, había que realizar mediciones y ya sabemos que al medir siempre existirá error. No obstante su descubrimiento fue muy avanzado para su época, tanto, que hasta el siglo XVII (casi dos mil años después ¿¡qué tal!?) Newton y Leibniz pudieron hacer algo para mejorarlo.

Arquímedes resolvió el problema del área del segmento de una Parábola, al que llamó: la cuadratura de la Parábola“, por dos caminos: mecánica y geométricamente.

Mecánicamente lo hizo a través de pesos y palancas, evidentemente partía del natural equilibrio de las cosas buscando lo que faltaría para igualar el peso del triángulo inscrito con el peso del segmento de la Parábola. Si quieres ver cómo lo hizo te lo dejo aquí.

Geométricamente… realizó una serie numérica partiendo de la idea de que el triángulo inscrito es la unidad, luego, los triángulos que caben en los “huecos” que quedan del primer triángulo son iguales a un cuarto del primero, luego, los pequeños huecos dejados por estos últimos son iguales a un dieciseisavo, y así sucesivamente hasta llegar al número mágico: 4/3.

1 + 1/41 + 1/42 + 1/43 + 1/44 + …. + 1/4n = 4/3

Así pues el segmento de una Parábola cortada por una recta que se acoplaría perfectamente a un eje X, es igual a dos tercios de la base por la altura del triángulo que circunscribe: [A=2(B)(h)/3], fórmula muy sencilla de aplicar cuando la base del triángulo está sobrepuesta en un segmento “simétrico” de la Parábola y cuya altura forma exactamente un ángulo recto.

Pero… ¿Y entonces Newton y Leibniz que hicieron?

La historia dice que cada quien trabajó por su cuenta buscando el área, y estaba claro que no repetirían tal cual el trabajo de Arquímedes, así que para “despistar” lo hicieron bajo la curva, por lo que en lugar de calcular la dichosa área dentro de la concavidad de la Parábola, la calcularon fuera de ella.

Supongamos la siguiente Parábola…


… de la cual se quiere determinar el área de la parte sombreada.


Una forma de hacerlo es encimando rectángulos en la parte sombreada.

Se calcula el área de cada rectángulo, se suman todas las áreas obtenidas y ¡listo! Pero… ¿Cuánto resulta?

Área = (1)(1) + (1)(2) + (1)(5) = 1+2+5 = 8 Unidades de área.

Ahí tienes una aproximación del área sombreada bajo la Parábola, solo que, puedes verlo, hay “huecos” los cuales quedaron fuera del cálculo, por lo que ahora colocaremos rectángulos de tal manera que la curva quede contenida en ellos.

¿Y cuánto resulta de esta área?

Área = (1)(2) + (1)(5) + (1)(10) = 2+5+10 = 17 Unidades de área.

Resultó otro número bastante alejado del primero que obtuvimos (ocho). ¿Entonces? ¿Cuál de las dos áreas asumimos como verdadera? Ninguna obviamente.

Por elemental lógica se deduce que el área buscada debe ser un número entre el 17 y el 8, y de inmediato alguien podría pensar: “¡Bah! Simplemente calculo la media aritmética de ambos números y ya está”, sí, podría ser, pero solo en el caso de que los segmentos de línea que forman la Parábola fueran perfectamente rectos, es decir, que “cortaran” con una diagonal exacta los rectángulos colocados en ellas (como sucede en una recta), y ya sabemos que todo en la Parábola es una curva, por lo que evidentemente estarían más inclinados hacia un lado.

Hasta aquí, las ideas de Newton, Leibniz y Arquímedes concordarían cabalmente si no fuera por el sistema coordenado utilizado, mismo que inventó René Descartes mucho tiempo después de Arquímedes, incluso lo siguiente también encaja.

Coloquemos rectángulos más pequeños y repitamos el procedimiento de calcular áreas con ellos.


Área = (0.5)(1) + (0.5)(1.5) + (0.5)(2) + (0.5)(3) + (0.5)(5) + (0.5)(7.5) = 10 Unidades de área.

Área = (.5)(1.5) + (.5)(2) + (.5)(3) + (.5)(5) + (.5)(7) + (.5)(10) = 14.25 Unidades de área.

El área buscada para el mismo caso ahora está entre 10 y 14.25 Unidades de área. El margen se redujo notablemente y si ahora calculáramos el promedio de ambas áreas estaríamos muy cerca del área verdadera, pero… como seguramente ya lo habrás deducido seguiría existiendo error y además, aunque simple, el procedimiento es sumamente laborioso.

Hasta aquí las ideas de Newton, Leibniz y Arquímedes cuadran perfectamente. Lo que ya no pudo hacer Arquímedes -y que tal vez hubiera hecho si no le sucediera que un soldado se le atravesara en su camino y acabara con su vida mientras resolvía un problema- es armar todo el “rompecabezas” de una vez por todas y encontrar un procedimiento sistemático y sencillo para calcular el área de la Parábola dentro o fuera de ella, casi lo tenía pues, en su método se percibe claramente la idea del Cálculo Integral, dicho de otra manera, rascó la cumbre pero no llegó a ella por azares del destino, cosa que Newton y Leibniz si hicieron, pero eso te lo contaré en la próxima ocasión.



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One response

24 08 2010
Marco A. Delgado

Hola Ing. Guerrero.

Buen tema, gracias por compartir sus conocimientos de una manera muy amena.

Saludos.
……….

Hola Marco….
Gracias por tu comentario.
Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.

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