Tópicos de Cálculo Diferencial.

3 07 2010

Tema 23. Puntos de Inflexión.

¿Qué es un punto de inflexión en Cálculo Diferencial?

Inflexión significa un cambio. En una curva, entre un punto Máximo y uno Mínimo en donde cambia de signo el valor de la pendiente, allí hay un punto de inflexión. Dicho de otra forma, si la pendiente de una curva cambia de + a – (o viceversa) entre un punto Máximo y Mínimo es porque hay un punto de inflexión.

¿Las rectas tienen puntos de inflexión? Evidentemente NO porque su pendiente jamás cambia de signo.

Pero para entenderlo mejor resolvamos un problema.

Sea la ecuación: y=[(x3)/6]+x2+x-2 que representa… ¡quién sabe qué diablos! (pero es seguro que representa algo), determinar la coordenada x de los puntos: Máximo y Mínimo, y de inflexión 1). Visual, 2). Geométrica y, 3). Matemáticamente.

Al realizar la gráfica de la ecuación (dando valores a x, obteniendo valores de y) resulta la curva mostrada a continuación.

Ahora que veo la curva resultante creo que bien podría representar la belleza de mi bisabuelita. Empezó a crecer de la nada, luego llegó hasta un punto (Máximo) en el que todos los hombres volteaban a verla e intentaban seducirla por cualquier medio (mi bisabuelito fue el “ganón” obviamente ¡uff! menos mal, si no es seguro que no existiría este blog). Después decreció hasta un punto (Mínimo), en el que nadie volteaba a verla ¡caray!, hasta que finalmente se fue al cielo. Claro, la curva igual podría representar las ganancias de una empresa, una carretera, el curso de un río, el primer experimento exitoso de un cohete de la NASA, un borracho caminando, etc. etc.

Pero continuemos con la solución.

Solución 1. Visualmente.

A simple vista podrías determinar los valores de x que corresponden a los puntos: Máximo, Mínimo y de Inflexión de la curva los cuales serían:

Máximo: -3.4; Mínimo: -0.5; Punto de inflexión: -1.9 ¿De acuerdo?

Obvio, lo anterior es solo para fines didácticos, para nada pretendas hacerlo siempre así.

Solución 2. Geométricamente.

Toma una regla (o escuadra) y encímala sobre los puntos Máximo, Mínimo y de Inflexión, de tal manera que formes una perpendicular con el eje x. Te ahorré tal acción y puse unas líneas verticales. Los resultados que obtendrás serán similares a los obtenidos en la solución 1.

Solución 3. Matemáticamente.

Derivando obtienes EXACTAMENTE los valores Máximos y Mínimos de la curva.

y=[(x3)/6]+x2+x-2

y´=[(3x2)/6]+2x+1

Igualando a cero…

[(3x2)/6]+2x+1=0

Aplicando fórmula cuadrática… x1,2=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)]

a=(3/6)=(1/2); b=2; c=1

Sustituyendo datos…

x1,2=[-2±√(22-4*(1/2)*1)]/[2*(1/2)]

x1,2=[-2±√(4-2)]/1

x1,2=[-2±√2]

x1,2=[-2±1.4142]

x1=[-2+1.4142]=-0.5858 Mínimo.

x2=[-2-1.4142]=-3.4142 Máximo.

Observa que los valores obtenidos visualmente al compararlos con estos últimos presentan error, pequeño pero al fin error, no son exactos. Sin embargo todavía nos hace falta obtener la coordenada x para el punto de inflexión, la cual podrías determinarla aplicando una fórmula de Geometría Analítica calculando el Punto Medio existente entre x1 y x2 de la siguiente manera.

Nota. Esta fórmula solo puedes aplicarla cuando exista “simetría” en la curva, es decir, la curva tiene crestas o picos iguales y opuestos como en este caso.

x=(x1+x2)/2=(-0.5858-3.4142)/2=-2

x=-2

La coordenada x para el punto de inflexión que obtuvimos visualmente también resulta aproximada a la coordenada exacta, pero tiene error.

Ahora bien, hay otra forma de determinar el/los Punto/s de Inflexión y es calculando la segunda derivada de la función. Esta manera de hacerlo funciona en todos los casos de ecuaciones independientemente de si en la curva tuviera o no “simetría” en sus picos o crestas. Para nuestro problema sería:

Primera derivada: y´=[(3x2)/6]+2x+1

Segunda derivada: y´´=[6x/6]+2

Igualando la segunda derivada a cero…

[6x/6]+2=0

x+2=0

x=-2

¿Complicado?


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2 responses

16 07 2010
JULIO ADOLFO CASTILLO CALDELAS

hola bunas tardes, felicidades por la amena explicación de sus tópicos.
un saludo me gusta mucho leer sus publicaciones ahora ya comenzare mi educación superior y considero que su ayuda me a servido de mucho gracias.

11 07 2010
Abraham

Muy buenos dias ing. Me he vuelto asiduo lector de lo que publica en su pagina ya que simpre tiene temas interesantes que comentar y sobre todo, !en todos le asiste la razón¡ Felicidades. ¿Podría escribir algo acerca de “minimos cuadrados ordinarios” o mas bien decirme alguna página que contenga este tema?, lo que quiero es determinara la ecuacion de una grafica a partir de pares de datos. Ya he buscado en la red y encuentro explicaciones teoricas, quiero ejemplos o algun libro que me pueda recomendar. Desde ahorita Gracias y que siga con la misma fortaleza que hasta ahora ha tenido para mantener su pagina en actividad constante. Corrijame las faltas de ortografia si las hay. Saludos desde Chilpancingo, Guerrero.
…………..

Hola Abraham…
Gracias por tu comentario, hasta donde me sea posible continuaré con el blog.
Respecto de tu pregunta (me sirvió para recordar el tema), quizá te sirva el siguiente enlace:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/regresion1/regresion1.htm
Un ejemplo de aplicación de Mínimos Cuadrados Ordinarios (con gráficas inclusive).
http://www.eumed.net/libros/2005/acm2/acm2.doc
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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