Tópicos de Cálculo Diferencial.

11 05 2010

Tema 17. Derivada de una variable elevada a una potencia. Xn

Actualización: Mayo 11 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Marzo 27 de 2008.

¿Te lo explico sencilla o técnicamente? Va sencillo pues…

Para obtener la derivada de Xn: se quita el exponente poniéndolo como coeficiente de X y se escribe un nuevo exponente restándole 1 al anterior.

¿Y técnicamente? ¡Ja! Es igual.

Nota. Recuerda que el coeficiente de una variable X es el número que la acompaña multiplicándola. Si la X está sola se entiende que su coeficiente es 1, es decir (1)(X), igual si no tuviera ningún exponente se entiende que está elevada a la potencia 1, o sea X¹.

Por ejemplo. Sea: Y=X4 Hallar Y´

El exponente es 4, por lo tanto: Y´=(4)(1)X4-1=4X3 ¿Complicado?

Otro caso. Sea: Y= -X5 Hallar Y´

El exponente es 5, por lo tanto: Y´= – (5)X5-1 = -5X4

Otro más… Sea: Y=X -7 Hallar Y´

Y´= (-7)X-7-1 = -7X -8

El penúltimo… Sea: Y=X -2/9 Hallar Y´

Y´= (-2/9) X (-2/9)-1 = (-2/9) X -11/9

El más general… Sea: Y=X a Hallar Y´

Y´ = (a)X a-1 = aX a-1

Bueno… ¿Y de dónde diablos salió esto de que la derivada de X n es igual a nX n-1?

Se dedujo de la famosísima y trilladísima Regla de los 4 pasos (y un traspiés)… Hagamos un ejercicio aplicándola y verás que resulta lo mismo.

Sea la función: Y=X2, hallar Y´

Y+∆Y = (X+∆X)2 = X2+(2)X∆X+(∆X)2

∆Y = X2+2X(∆X)+(∆X)2-Y

Pero inicialmente Y= X2 entonces:

∆Y = X2+2X(∆X)+(∆X)2-X2 = 2X(∆X)+(∆X)2

∆Y/∆X = (2X(∆X)+(∆X)2)/∆X = 2X+(∆X)

Aplicando límite a la función anterior:

Lim ∆Y/∆X = Lim (2X+(∆X)) = 2X
∆X→0

Ahora resolvamos la misma función pero aplicando la fórmula que indiqué al principio.

Sea: Y=X2, hallar Y´

El exponente de X es 2, entonces…

Y´= (2)X2-1 = 2X1 = 2X

Exactamente el mismo resultado… observa todo el tiempo y esfuerzo que te ahorraste aplicando la fórmula.

Hasta aquí el tema.

Solo por practicar resuelve los siguientes ejercicios.

Y=X-4, y´=
Y=X13, y´=

Y=-X2, y´=

Y=-X-4, y´=

Y=X√2, y´=

Y=X1/4, y´=

Y=X-1/4, y´=

Y=-X-2/3, y´=

Y=-X3/2, y´=



Acciones

Information

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s




A %d blogueros les gusta esto: