Tópicos de Cálculo Diferencial.

7 05 2010

Tema 9. Hay de límites a límites.

Actualización: Mayo 06 de 2010
Fecha de publicación inicial: Febrero 06 de 2008

En el tema anterior resultó una división por cero (cero entre cero), lo que técnicamente se llama indeterminación y supone un “corte” en la grafica de una función, en ese caso de una recta (una “discontinuidad”), pero ya vimos que realizando un sencillo procedimiento algebraico lo podemos “arreglar”. Hay otros casos en los que igual “manipulas” la expresión y los resuelves, por ejemplo:

Lim (x2)/(x2+2)=
x→∞

Se lee: “El límite de la función: (x2)/(x2+2) cuando X tiende a infinito”.

Primero. ¿Qué diablos representa la función (x2)/(x2+2)? R. Lo que se te ocurra. Por ejemplo puede representar el camino que siguió caperucita roja para llegar a la casa de su abuelita, o bien un borde del casco de Vader, la mitad del rostro de la esfinge de Keops, un niño haciendo “pipi” en contra del viento, las ganancias de una empresa, etc, etc.

Grafiquemos…

Si x=0;
f(x)=0/(0+2)=0

Si x=1;
f(x)=1/(1+2)=0.33

Si x=2;
f(x)=4/(4+2)=0.66

Si x=3;
f(x)=9/(9+2)=0.81

Si x=4;
f(x)=16/(16+2)=0.88

Si x=5;
f(x)=25/(25+2)=0.92

Si x=6;
f(x)=36/(36+2)=0.94

Si x=7;
f(x)=49/(49+2)=0.96

Si x=8;
f(x)=64/(64+2)=0.96

Etc…

Si X recibe valores negativos sucede exactamente lo mismo que para valores positivos, ¿Por qué? Porque al elevar al cuadrado un número negativo se convierte en positivo.

Segundo. ¿Qué significa “X tiende a infinito”? R. Significa que los valores que asignes a X serán muy grandes.

Tercero. ¿La función acepta valores pequeños? R. Sí. El problema se presenta con valores muy grandes.

Cuarto. ¿Qué pasa al asignar a X un valor muy grande, por ejemplo un millón? R. En este caso al elevar al cuadrado un millón y luego sumarle dos en el denominador (x2+2), como que no tiene sentido. Por ejemplo…

Heredaste de tu abuelito matemático un millón de pesos al cuadrado o sea un millón de millones (un billón pues). ¿Te interesarían los dos pesos que te debe tu hermanito, el más pequeño, el que ha recibido tus caricias y de vez en cuando un coscorrón, el que conoce tus secretos, el que te ayudó a mentirle a tus padres, etc, etc.? ¿Le sumarías los dos pesos que te debe a tu gran fortuna? Obviamente que NO. Los dos pesos son una cantidad despreciable comparados con el dineral que recibirías, pero… si queremos exactitud en los cálculos en realidad son dos pesos más. Igual sucede con la función: (x2)/(x2+2), al sustituir infinito en el denominador (1,000,0002+2) y elevarlo al cuadrado resulta una cantidad súper-grande ¡y luego sumarle dos! como que no tiene sentido, pero es algo real y si no existiera un procedimiento para “saltarte” toda la serie de cálculos laboriosos (al asignar valores grandes) necesarios para graficar la función tendrías que hacerlo si buscaras exactitud.

Para suerte -o desgracia- tuya nacieron Newton y Leibniz.

Quinto. ¿Y qué demonios hicieron Newton y Leibniz al respecto? R. Simplemente MANIPULARON la función: (x2)/(x2+2) de la siguiente manera.

Dividieron TODA la expresión entre la variable de mayor exponente –en este caso X2– por lo tanto quedó:

(x2)/x2/(x2+2)/x2 = 1/(x2/x2+2/x2) = 1/(1+2/x2)

Luego, aplicaron límite a la función resultante, quedando:

Lim 1/(1+2/x2) =
x→∞

Aplicando directamente el valor ∞ (infinito) hacia el cual “tiende” X, quedaría:

1/(1+2/∞2) = 1/(1+0) = 1/1 = 1, observa que 2/∞ = 0

Dicho de otra manera (más entendible): dos entre una cantidad infinitamente grande es prácticamente CERO.

Entonces…

Lim (x2)/(x2+2) = Lim (x2)/x2/(x2+2)/x2 = 1/(x2/x2+2/x2) = 1/(1+2/x2)
x→∞

Lim 1/(1+2/x2) = 1/(1+2/∞2) = 1/(1+0) = 1/1 = 1
x→∞

Entendido de otra manera, lo anterior quiere decir que si asignas valores grandes a X, ¡hasta el cansancio! ¡hasta que tu calculadora ya no pueda más! o hasta que te enfades de hacerlo, al final descubrirás que cuando X tiende a valores más y más grandes (x→∞) la función ¡es igual a 1! y no pasará de ahí. ¿Qué tal? A poco Newton y Leibniz no te evitaron fatiga a la hora de resolver ecuaciones como la anterior. ¿Qué tal si tuvieras que graficarla sin ayuda de los límites? En este caso tendrías que dar y dar y dar valores a X hasta que se cansara tu mano y dijeras ¡ya nooooo!, y al final de cuentas la dichosa función termina por valer 1.

¡Ja! Y volviendo al caso de tu hermanito deudor, si la herencia en pesos que recibiste de tu abuelito matemático se rigiera por la ecuación: (x2)/(x2+2) que harías ¿le pedirías los dos pesos que te debe? Supongo que se los sacarías cobrándole hasta los intereses por minutos atrasados para poder sumarlos al miserable y ÚNICO peso que te dejó de herencia el tacaño de tu abuelo.

Recapitulando…

1. Cuando se trate de límites que tiendan a infinito si hay una situación “rara” (indeterminación) se divide toda la función entre la variable de mayor exponente.

2. Al resultado se le aplica el límite cuando X→∞, y San se acabó, de esta manera se llega rápidamente al resultado final de la función.

¡Fácil!

Solo por practicar resuelve los siguientes límites.

Lim (2x+3)/(4x-5) =
x→∞

Lim x/(x2+5) =
x→∞

Lim (2x2+1)/(6+x-3x2) =
x→∞



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2 responses

14 07 2010
ROBERTO GUZMAN

SALUDOS INGENIERO GUERRERO.
COMO SIEMPRE MOLESTANDO.
VOY A INSTALAR TRES LAMPARAS QUE TENDRAN APAGADORES DE ESCALERA POR SEPARADO.
1. EN LA ENTRADA PRINCIPAL PODRE LOS TRES APAGADORES DE ESCALERA
2. EN LA SALA PONDRE UN APAGADOR DE ESCALERA QUE APAGUE CON EL PRIMERO DE LA ENTRADA PRINCIPAL AL FOCO DE LA SALA.
3. AL FINAL DEL PASILLO PONDRE UN SEGUNDO APAGADOR DE ESCALERA QUE APAGUE CON EL SEGUNDO APAGADOR DE LA ENTRADA PRINCIPAL AL FOCO DEL PASILLO.
4. EN LA RECAMARA PONDRE UN TERCER APAGADOR DE ESCALERA QUE APAGUE CON EL TERCER APAGADOR DE LA ENTRADA PRINCIPAL AL FOCO DE UN SEGUNDO PASILLO.

MI PREGUNTA ES SI CADA APAGADOR LLEVA SUS DOS CABLES DE PUENTE INDIVIDUAL O HAY ALGUNA OTRA FORMA DE HACER ESTA CONEXION.
GRACIAS POR SU AYUDA.
……………

Hola Roberto…
Por el método de puentes no la hay, siempre tienes que poner dos cables que van de un apagador al otro, luego, de cada par de apagadores una de las dos terminales restantes se conecta a la Fase y la otra terminal restante sirve como retorno al foco.
Bueno… lo anterior reitero es por el método de puentes, pero si en las cajas en donde estarán los apagadores ya estuviera la Fase y el Neutro podrías aplicar el método de “corto circuito” y de esa manera te ahorrarías los dos cables de puentes, sin embargo tendrías que saber exactamento lo que estás haciendo, de lo contrario ocasionarías cortos circuitos.
En fin… volviendo al método de puentes te recomiendo que “bajes” la Fase en donde están los tres apagadores juntos, de esta manera puedes “puentearla” y ahorrarte cable.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

16 08 2009
Diego

Hola Ingeniero , quisiera saber si los límites de los ejercicios son respectivamente : 1/2 , 0 , -2/3 . Muchas gracias.
………..

Ok’

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