Tópicos de Cálculo Diferencial.

26 04 2010

Tema 3. ¿Recuerdas el problema de la “cajita”?

Actualización: Abril 25 de 2010
Fecha de publicación inicial: Noviembre 21 de 2007

Es un problema clásico que planteaba William A. Granville en su libro de Cálculo Diferencial e Integral. Quizá ni estés enterado, te pongo un enlace aquí a una solución al mismo basada en la Geometría Analítica, que es, digamos, una forma rústica de resolverlo. En dicho problema se “juega” con dos variables: volumen y área, es decir, se busca obtener el mayor volumen posible para una pequeña caja formada a partir de una hoja de papel (o lámina de algún material) de cualquier área, abierta por arriba (observa en la figura el procedimiento para hacerla).

La ecuación obtenida para una hoja cuadrada de papel de 10 Cms. de lado fue:

Y = 100X-40X²+4X³

Bien, si aplicas el mismo procedimiento del tema anterior de Cálculo Diferencial para obtener la primera derivada de la ecuación mostrada, derivando cada una de las partes del polinomio obtienes:

Y´=100-80x+12x2

Revisa la expresión anterior y relaciónala con el procedimiento para derivar (por simple inspección) que vimos en el tema anterior. Estoy suponiendo que efectivamente lo comprendiste y dedujiste por simple inspección cómo es el proceso de derivar funciones sencillas.

Pues bien, siguiendo lo indicado en el tema 2 tenemos que igualar a cero el resultado de la primera derivada para obtener los máximos y mínimos que pudiera tener la ecuación. Entonces:

100-80x+12x2=0, reordenando términos: 12x2-80x+100=0

¿Y ahora qué? Ahora tenemos que obtener las raíces de la ecuación, en otras palabras obtener los valores de x para los que la igualdad es cierta, para lo cual podemos factorizar la expresión o bien aplicar la fórmula cuadrática:

X1,2=(-b±√(b2-4ac))/2a;

De la ecuación: 12x2-80x+100=0 sabemos que:

a=12, b=-80 y c=100

Sustituyendo a, b, y c en la fórmula cuadrática queda:

X1,2=[-(-80)±√((-80)2-4(12)(100)]/2(12)=

X1,2=(80±√(6400-4800))/24=

X1,2=(80±√1600)/24

Ahora determinemos X1, y X2, llamadas raíces de la ecuación.

X1=(80+√1600)/24=5

X2=(80-√1600)/24=1.66666

¡Okkkk´! Tenemos dos valores para X. Pero ¿Qué nos dicen ambos números?…

Pon atención a lo siguiente porque es una de las claves del cálculo diferencial (la interpretación de los resultados).

X representa la cantidad de papel que tendrías que recortar para formar la caja. Si no supieras cálculo diferencial tendrías que trabajar por prueba y error hasta que encontraras la cantidad adecuada para formar tu caja de papel (tal como sucedería con Geometría Analítica), pero ahora, como ya conoces por lo menos los principios del cálculo diferencial entonces ¡sorpresa! la cantidad de papel que tendrías que recortar en las esquinas es exactamente 1.6666 Cms. (el valor de X2) y con ello obtendrías el volumen máximo de la caja. ¡Qué tal! Nada de “prueba y error” cortando muchas hojas de 10 Cms. hasta que por fin encontraras la caja del mayor volumen posible, ni tampoco hacer muchas operaciones matemáticas en tu cuaderno calculando decenas de volúmenes. Qué te parece, hacer un solo cálculo y de una vez “a la primera” sepas cuanto papel debes cortar en las esquinas de tu hoja de papel para formar tu pequeña caja que tenga el mayor volumen posible.

¿Dime si no es importante saber Cálculo Diferencial?

Y lo mejor de todo es que es un lujo que puedes darte, simplemente dedícale un poco de tiempo y obtendrás cosas que te sorprenderán más que la solución de este problema.

Ahora bien, probablemente pienses que no vas a dedicar tu vida a fabricar cajas de papel (o de madera o de metal), pero… quién puede asegurártelo, uno nunca sabe hacia dónde lo llevará el destino, algún día te contaré si yo pensé ser profesor cuando fui estudiante. Por eso te conviene aprender todo lo que puedas sobre esta preciosa rama de las matemáticas.

Lo que lees aquí solo son las bases del Cálculo Diferencial y nada más. También, toma en cuenta que si solo tuvieras que fabricar cinco o diez cajas no valdría la pena que le dedicaras varias horas de tu vida al aprendizaje del cálculo, pero imagina el caso de un fabricante de cajas, los millones de pesos que se ahorra sabiendo cuanto cartón debe cortar exactamente para fabricar sus cajas y que tengan éstas el mayor volumen posible. Si piensas que los fabricantes de cajas para guardar cereal (o cualquier otro alimento) las hicieron al azar estás en un error, las medidas ideales las obtuvieron técnicos que sabían Cálculo Diferencial, buscando maximizar volúmenes y minimizar el desperdicio de papel (o de dinero).

No obstante todavía hay algunas cosas pendientes en este problema y son las siguientes.

¿Cuál es el volumen que se obtiene con x=1.6666?

Respuesta. Sustituyendo este valor en la ecuación principal (Y = 100X-40X²+4X³) queda:

Y = 100(1.6666)-40(1.6666)²+4(1.6666)³

Resolviendo quedaría: Y=74.074 Cms3.

El mayor volumen que puedes obtener para una pequeña caja abierta por arriba a partir de una hoja de papel de 10 Cms, de lado son aproximadamente 74 Cms3

¿Cómo debemos interpretar el otro valor que resulta para X, o sea 5?

Me gustaría que lo concluyeras tú, pero te lo voy a decir de una vez.

El 5 representa un valor mínimo, es decir que si a la hoja de papel de 10 Cms. le cortaras un cuadro de 5 Cms. por lado en cada esquina ¿Qué te quedaría? NADA. Como dice la canción “nadita de nada”. Por lo tanto es un valor que contiene un volumen mínimo.

Espero que hayas comprendido el problema y su solución, y desde ahora empieces a tomarle estimación al Cálculo Diferencial.



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20 responses

13 10 2014
joracafe

Reblogueó esto en joracafe.

10 05 2011
MARCO

(HOLA) que opinion le merece el software de matematicas Villa matematicas que se desea implementar en los planteles?
………….

Hola Marco…
No lo conozco… ¿hay algún servidor de donde pueda descargarlo?
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

5 07 2010
VERONICA VALDERRAMA

hola necesito su ayuda ?????
mi hijo necesita tomar clases de geometria analitica en el espacio y calculo de funciones de dos variables, que viva en la zona sur por coapa ?
me urge que sea muy bueno el profesor
mil gracias
escriban a mi correo

7 06 2010
wendy

me sirvio mucho pero tengo un problema me piden la misma caja pero de 15 cm y su valor maximo no minimo que ago ayuda porfa.
……………

Hola Wendy…
El máximo se refiere al máximo volumen de la caja y el mínimo se refiere al mínimo de papel/lámina gastado. En el caso que planteas en lugar de 10 sustituye el 15.
Revisa el siguiente enlace y haz lo que te digo. Luego derivas la expresión resultante.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

28 04 2010
Abraham

Antes que nada ¿o antes que todo?. Agradecer al Ing. Guerrero por su gran labor en la enseñanza a travez de sus articulos en la red. Por otro lado, quiero comentar que a mi se me hace mucho mejor comprar un libro que entrar en foros donde normalmente encuentras respuestas que no se garantizan sean correctas y como el que pregunta, obvio, pregunta porqué no sabe, es muy facil que tome informacion incorrecta de alguien que probablemente tenga menos conocimientos del tema que quien está preguntando. Yo sigo mi tendencia a comprar buenos libros. Comenten.
…………

Hola Abraham…
Es cierto lo que dices, hay mucha información equivocada en la red, aunque a descargo de los que escriben creo que en su mayor parte no hay una intención deliberada de desinformar, pero sí, es más fácil encontrar errores en páginas, blogs, foros, etc., que en los libros, no obstante también hay errores en estos últimos y garrafales a veces.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

13 05 2009
Isaac Lopez

Nosotros resolvimos ese problema, yo pienso que es el mismo. es mas facil de lo que se ve, en realidad la solucion es un corral rectangular solo que mas bien es pura chamba de graficas y tablas en donde la medida del largo del gallinero ese una millonesima o mas de metro (ese numero con infinidad de cifras decimales es el que te pide encontrar el maestro y por la infinidad de los numeros es que no hay una medida exacta)en comparacion al la medida del ancho. no me acuerdo de la cantidad de metros de material para el gallinero (CREO QUE 125 o 90 METROS DE MALLA) . El corral se puede presentar como un cuadrado.

11 03 2009
Andrea

Hola, Solo queria comentar que es un buen blog, y tengo una pregunta, En verdad el profesor Hipolito da clases en el cbtis #206?? yo estudio en ese cbtis pero nunca habia escuchado hablar sobre ese libro que probablemente el escribio. Un Saludo!

24 10 2009
Gorgonitte

si el da clases en la mañana y cuando yo estuve en el CBTis 206, todos los dias durante 1 año odie ese libro… y como el lo escribio no aceptaba procedimientos distintos a los de el aunque llegaran a la misma solucion. saludos

17 11 2008
Colilote

Coincido con usted en el aspecto de que los libros hasta cierto punto son caducos y limitados en imagenes por cuetion de los editores y es mucho más práctico el uso de blogs y otros medios electrónicos. De hecho las nuevas tendencias en educación tienden exactamente hacia álla, a hacer uso de las nuevas tecnologias en las aulas y dejar de dar lass clases de matematicas con el gis y el pizarrón. Me encuentro concluyendo una Maestría en Educación Media Superior con especialidad en Matematicas, especificamente en Cálculo Diferencial y procuro documentarme lo más posible mediante el uso de internet. Espero y no se moleste si saco información de este blog y la utilizó para mis clases. Me gustaría mantener contacto con un profesor con amplia cultura, por lo que he leído en su blog.
………

Hola Colilote…
Colega puedes utilizar libremente lo que quieras de este blog, lo único que le pido a todo mundo que se sirva de él es que citen la fuente. Lo hago así con el afán de que más gente (sobre todo alumnos) al enterarse del Blog se beneficien de él.
En otras cosas, tu comentario de ayer me generó la idea de escribir un artículo respecto del uso de los libros, si quieres leerlo mañana aparecerá publicado en la portada principal.
Te envío saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.
P.D. Siendo tú profesor de matemáticas, te pido por favor Colega -si tienes tiempo y quieres hacerlo- que revises los demás temas que tengo de cálculo diferencial, y me avises si encuentras algún error del tipo que sea (a veces con tantos números de pronto se me va alguno equivocado) te dejo el enlace…
https://iguerrero.wordpress.com/category/topicos-de-calculo-d-e-i/

16 11 2008
Colilote

Me parece un intesante blog relacionado a la educación de las matemáticas. Soy profesor de Calculo Diferencial en la Cd. de Colima y quiero felicitarlo por su claridad en los ejemplos aqui desarrollados. ¿Tendrá libros escritos por usted referentes a Cálculo Diferencial? ¿Otros blogs relacionados al cálculo diferrencial?
……….

Hola Colega…
Gracias, eso intento colega, ser claro en todo lo que digo, e intento también hacer menos formales las matemáticas.
No tengo escrito ningún libro de cálculo diferencial por lo siguiente. Los libros ya están pasando de moda colega -lo siento por la editoriales- y además estoy en pro de una educación gratuita. No tengo nada en contra de autores y editoriales pero siento que su negocio se está acabando. Un Blog o página es más flexible que un libro, no es igual de práctico todavía pero para allá va. Un libro tarda años en corregirse mientras que un Blog o página puedes corregirlo en un minuto. Un Libro está muy limitado en sus graficos, un Blog o página puede estar cargado de imágenes sin ningún problema, por estas razones mientras me pague la SEP seguiré escribiendo gratuitamente lo que he aprendido de todas las áreas en el Blog.
Blogs que “abran” y traten los temas en forma semejante a como lo estoy haciendo, hasta donde he visto no hay (lo digo sin un afan petulante). Pero hay páginas por ejemplo el paraiso de las matemáticas en donde puedes encontrar mucha información respecto de lo que buscas.
Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

5 11 2008
PABLO MARQUEZ

LO FELICITO POR EL EXCELENTE BLOG LE HABLO DE VENEZUELA EN REALIDAD SIGA ASI PERSONAS ASI CON DISPOCISION DE EDUCAR HACE FALTA EN LA RED SIN MAS QUE DECIRLE SALUDOS DESDE VENEZUELA

23 10 2008
dream team

el profesor hipolito orduño vega.. nos da clasess a nosotros en el cbtis 206 de hermosillo.. si es el mismo maestroo ..?? ajaj …
weno en ffin .. nos deja mucha tareaaa.. asi lo qe see dicee mucchaa..
ajaja-…
empezamos alas 4:00pm y son las 9:30 y no llevamos ni la mitad de la tarea…
y relativamente esta facill… pero el profe es mui especial encuanto aa resultados y procesos..!

pero igualmente.. saludoss a todos!!

suerte..!

15 09 2008
Snakedark

Hola a todos yo estoy interesado en el calculo diferencial.

Pero queria saber cuales son las ciencias bases para poder aprenderlo sin ningun problema. Como por ejemplo Algebra, Trigonometria o Geometria que ciencias y partes debo ver con mas amplitud para que el calculo diferencial entre sin ningun problema.
……….

Hola Snakedark…
Geometría Analítica, y operaciones algebraicas y aritméticas.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

23 08 2008
carlos

necesitamos la ayuda en resolucion del problema del gallinero del libro del maestro hipolito orduño vega. pagina 133 es que la no le entendemos.
…………….

Hola Carlos…
El alumno debe encontrar sus propias soluciones no importando si se equivoca, pero de cualquier forma este y otros resultados puedes verlos en:

Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

27 03 2008
ROY

pues nesecito la resolucion del problema de un bote de aceite del libro de hipolito orduño vega 2.-
LA LATA PARA ENVASAR CHOCOLATE.- Una compañía usa latas de forma cilíndrica para envasar chocolate en polvo en su presentación de 400 gramos. Encuentra las dimensiones que minimicen el costo de la lata (es decir, el área mínima de hojalata que se debe emplear en cada bote), sabiendo que el volumen de cada bote es de 909.2 centímetros cúbicos. Traza la tangente a la curva del problema en el punto que representa la solución.

——————————–

Hola Roy…

Lo siento, por favor lee el tema 1 en particular el punto 2.
Te envío saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

21 11 2010
miguel angel nuño

ha y sabe aber si de paso me podria ayudar dando alguna pista o algun lugar donde consultar algo relacionado al siguiente problema es de volumen maximo y minimo;

Un trozo de alambre de 10m de largo se corta en dos partes.
una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triangulo equilatero.
¿Como debe cortarse el alambre de modo que el area total encerrada sea
(a) maxima, y (b) minima.

solo creo estar correcto en la (a) ya que seria utiluzando todo el alambre para el cuadrado.
pero en el (b) aun no se como sustituir los calculos y en que formulas
cualquier ayudita es buena de antemano gracias…..
……………..

Hola Miguel Angel…
Quizá te sirva: http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080724200141AAiZlvl
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

23 11 2010
miguel angel nuño

muchisimas gracias ing. ahora si a trabajar ya me di una idea
y de nuevo muchas gracias que chido blog……

27 11 2007
iguerrero

Hola Pablo…

Efectivamente, el Cálculo Diferencial es simplemente “otro mundo”, interesante, profundo y basto, que bien podría pasarse uno la vida estudiando sus aplicaciones y creo que no se acabarían.

Suerte en tus estudios.

Saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

21 11 2010
miguel angel nuño

hola ing.
mi nombre es miguel angel soy amateur en este mundo facinante del calculo
he tenido muchos problemitas pero me encanta cuando encuntro la solucion
por larga que sea de cada uno y que buen blog….saludos.

27 11 2007
Pablo [BetaDir]

Los problemas de maximizacion o minimizacion de funciones son siempre interesantes :) yo trato de maximizar eCPM*CTR para AdSense ;)

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