Tópicos de Cálculo Diferencial.

2 02 2010

Tema 5. ¿Se puede dividir un número entre cero?

Actualización: Febrero 02 de 2010
Fecha de publicación inicial: Diciembre 02 de 2007

Entre cero NO, pero entre un número pequeñísimo -casi, casi cero-, SI.

Antes de entrar “fuerte” en materia de cálculo diferencial, revisemos algunas “cosillas” que debes conocer y que pueden resultarte interesantes (espero). Analicemos por ejemplo la división por cero.

Busca tu calculadora y divide: 12/0, ¡Ojo! es doce entre cero, no cero entre doce. ¿Cuál es el resultado? No, no es cero como podrías pensar. ¿Acaso una E de Error? o ¿math ERROR?

Haz lo mismo con varias cantidades -las que se te ocurran- divídelas todas entre CERO. Quiero que te convenzas de que la división de cualquier cantidad entre CERO no es posible. Al revés siempre da cero, pero cualquier cantidad entre cero siempre resulta ERROR.

Nota. “Error” no significa que el resultado de dicha división sea CERO.

¿Por qué?

Podrías pasarte unas horas buscando la razón, aunque… la respuesta es simple, de nivel básico.

Recuerdas cuando tu maestra de segundo año de primaria les decía en tu grupo:

-A veeeeeer mis queridos y hermosos niños, pongan atencióooonnnn. Si tienen seis naranjas y las reparten entre dos personas ¿cuántas les corresponden a cada una?

-Todos respondían a coro: “Les colesponden tles naranjas a cada pelsona, quelida maestla”.

-¡¡Muuuuuy bieeeeeen!! mis amados niños, y si tienen cuatlo nalanjas ¡perdón! cuatro naranjas y las reparten entre NINGUNA persona ¿cuántas les corresponden?

-¿¡Que, quéeee!? Contestaban todos.

El error que muestra tu calculadora es el mismo ¿¡que qué!? de la primaria. ¿Cómo podrías dividir cuatlo nalanjas ¡perdón! cuatro naranjas entre CERO personas? o ¿cómo dividir un pastel entre CERO personas? Simplemente no se puede. Por eso tu adorado aparato marca ERROR y por eso pensaste que tu maestra no estaba en sus “cabales” cuando te lo preguntó.

Ahora bien, ¿Sucede igual con las letras (variables o simplemente literales)? Por ejemplo al dividir D/0 ¿Causa error? De entrada no puedes dividir directamente una letra en tu calculadora elemental, pero al asignar un valor a D por ejemplo 9, entonces sucedería exactamente lo mismo. En conclusión, cualquier cantidad dividida entre CERO simplemente NO PROCEDE.

Este mismo problema lo tuvieron hace más o menos cuatrocientos años (minutos más, minutos menos) Newton y Leibniz y les ocupó varios meses para resolverlo. Newton estuvo mucho tiempo bajo su árbol de manzanas favorito hasta que le cayó una en la cabeza y “se le prendió el foco” tal como le ocurrió -eso dicen- con la “Ley de la Gravitación Universal”. Por su parte Leibniz enterado del secreto de Newton para obtener ideas, como no tenía manzanos en su propiedad pero si palmeras, se sentó al pie de una de ellas. ¿El resultado? mientras sanaba de un impresionante y despabilante “cocotazo” descubrió la solución.

Así que, la respuesta llegó…

A lo mejor -pensaron Newton y Leibniz- el cero no es tan cero. Si lo consideraramos como una pequeñísima cantidad casi-casi cero pero sin llegar a él, por ejemplo: ¿podríamos dividir 325 entre una cantidad pequeñísima? ¿Se puede?

¡Claro! Verifícalo en tu poderosa calculadora… Por ejemplo divide 325 entre 0.000001, aquí si hay resultado. Puedes ver que el 0.000001 es una cantidad muy pequeña, se lee una millonésima, o sea casi cero. ¿Y cuanto es una millonésima de lo que sea? Casi NADA.

Nota. Si nuevamente tu aparato te marca ERROR, una de tres: o te equivocaste en la división, o tu calculadora es Made In Zempasuchitl California, o es de las que vienen incluidas gratis en las bolsitas de frituras que venden en la esquina.

Igual podrías dividir 325 entre otra cantidad más pequeña, todo depende del número de dígitos que acepte tu pequeña gran máquina, el caso es que si se puede.

Concluyendo entonces, ya tienes una nueva idea para incorporarla a tu cerebro. En cálculo diferencial debes considerar al cero no como cero exactamente, sino como una cantidad infinitamente pequeña.

Ahora bien, cuando divides cualquier cantidad entre otra muy pequeña el resultado es muy grande, lo cual nuevamente puedes comprobar en tu calculadora. Por ejemplo, divide 12 entre 0.000000035 ¿Cuánto obtienes? ¿Y si divides 12 entre otra cantidad más pequeña que la anterior cuánto obtienes? Respuesta, otra cantidad más grande. Entonces hay una relación ahí, cuanto más pequeña sea la cantidad entre la cual divides, más grande es el resultado. Dicho de otra manera, cuando el denominador (la cantidad entre la cual vas a dividir) “tiende hacia cero” el resultado tiende a ser infinitamente grande.

Nota. El “tiende a cero” lo representaremos con: →0 y  lo utilizaremos para no poner el “montón” de ceros antes de un número.

Lo anterior podríamos expresarlo simbólicamente de la siguiente manera:

Por ejemplo en la división 3/X. Cuando X “tiende a” CERO el resultado es Infinito.

Nota. Infinito se representa por dos circunferencias unidas en su parte media . La flecha se lee como tiende a. El hecho de que ponga un tres no significa que siempre deba ser ese número, puede ser cualquier otro. La X tiene un valor cercano al cero, pero sin llegar a él.

Otra conclusión.

Si tienes una X que “tiende a cero (X→0)” y la divides entre otra X que igual “tiende a cero” puesto que ambas cantidades son iguales el resultado es 1. Cuidado con esto, si X fuera exactamente igual a cero entre otra X que es exactamente cero el resultado no funciona ya que estaríamos cayendo en una situación matemática llamada: indeterminación. La división de cero entre cero no procede, pero de una cantidad X que tiende a cero entre otra X que igual tiende a cero, es 1, nunca lo olvides, memorízalo, igual que el “padre nuestro”.



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2 responses

2 02 2010
rene valdenebro

le mando un saludo desde ciudad obregon, hacia tiempo que no me reportaba ,
habia hecho comentarios de como aqui en sonora, las pastillas termomagneticas en el mes de agosto se pueden disparar a la temperatura ambiente. hay bpartes que sube a 50 grados centigrados, bueno pero ahora se trata de calculo diferencial en prepa asi mas o menos me lo explicaban
x%.oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo1 tiende a infinito
………….

Hola René…
¡Ja! Gracias por tu comentario.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

7 02 2009
salome burgos rodriguez

ps esta muy buena la informacion, justo lo que buscaba de calculo diferenciasl gracias esta muy clara su informacion.!!!!!!

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