Tópicos de Cálculo Diferencial.

11 01 2010

Tema 22. Problemas de Máximos y Mínimos.

Actualización: Enero 07 de 2010
Fecha de publicación inicial: Mayo 14 de 2008

¡¡¡¡Por fin!!!! llegamos a lo primordial del Cálculo Diferencial, su aplicación estrella, Máximos y Mínimos.

¿Qué es un Máximo y que un Mínimo? Resp. breve. Un Máximo es el punto más alto de una curva, un Mínimo es el punto más bajo.

Bien… hagamos un ejercicio al respecto.

1). El Ranchero “Afama´o” (Recargado).

Érase una vez “un ranchero afama´o, de botas, chamarra y sombrero colora´o”, (+ o – como el que ves al lado) que construyó un corral con malla de gallinero en un terreno de 10×10 Mts (100 Mt2). El hombre había decidido incursionar en el negocio de la compra-venta de gallinas, las cuales compraba un día y vendía después. Fue a una ferretería y compró 20 Mts de malla de alambre, luego dijo: “Po´s hay, hasta ´onde alcance pa´ formar el gallinero”. Llegó a su terreno e iniciando en una de las esquinas del mismo enterró cuatro postes de madera formando un rectángulo de 2 Mts. de frente por 8 de fondo. Si sumas todos los lados del rectángulo (perímetro) el total es de 20 Mts, mismos de la malla que compró.

Las preguntas son:

1. ¿Cuántas gallinas caben en el gallinero del ranchero “afama´o” considerando que cada una ocupa un espacio de 30×30 Cms?

2. ¿Acaso el ranchero “afama´o” tenía otra mejor opción para construir el gallinero, de manera que cupieran más gallinas en una cerca rectangular?

Solución…

1. Apliquemos la matemática tradicional.

El área total del gallinero que construyó el ranchero es 2×8= 16 Mts2. Si un Mt2 tiene 100×100 Cm. o sea 10,000 Cm2 entonces aplicando una “regla de tres simple” quedarían:

16 Mt2 (10,000 Cm2)/1 Mt2 =160,000 Cm2 Dividiendo esta cantidad entre 30×30=900 Cm2 que ocupan cada gallina quedarían:

160,000/900 = 177.77 gallinas. El 0.77 es una gallina incompleta, total, ¡le arrancas la cabeza y listo! (no creas esto último). En conclusión, caben más o menos 177 gallinas completas.

2. ¿El ranchero “afama´o” tenía otra mejor opción para construir su gallinero con los 20 Mts. de malla?

Apliquemos el cálculo diferencial.

Primero construyamos la ecuación que rige el proceso.

Supongamos un gallinero que tenga por lados X e Y de la siguiente manera…

El área en este caso sería A=(X)(Y) ¿de acuerdo?

El Perímetro (suma de los lados del rectángulo) de la figura sería: X+Y+X+Y el cual debe tener un valor de 20 Mts, entonces:

Per=X+Y+X+Y=20=2X+2Y ¿Ok´?

Así que: 2X+2Y=20

Pues bien ya tenemos dos ecuaciones relacionadas con el problema del ranchero:

1) A=(X)(Y); y,
2) 2X+2Y=20

Manipulemos ambas ecuaciones. Despejemos Y de la segunda ecuación y sustituyámosla en la primera. ¿Por qué la segunda en la primera y no al contrario? Resp. Porque buscamos Maximizar el Área, siendo ésta la que debemos DERIVAR. Entonces quedaría:

Y=(20-2X)/2=10-X Sustituyendo Y en la primera ecuación queda:

A=(X)(10-X)=10X-X2

Bien, ya tenemos una tercera ecuación que involucra tanto al perímetro como al área del dichoso gallinero.

A=10X-X2

Para encontrar el Máximo de esta Área derivémosla… quedaría:

d(Área)/dx=10-2X o sea A´=-2X+10; Recuerda que la derivada es la pendiente “general” de la curva…

Ahora igualemos la pendiente “general” a cero para encontrar el punto en el que su tangente es horizontal, ahí obtendremos un Máximo de la curva… o un Mínimo, o ambos si la expresión fuera distinta… entonces:

-2X+10=0; despejando X queda:

X=10/2=5

¿Qué quiere decir este valor? Quiere decir que el frente del gallinero (o sea X) debe ser de 5 Mts.

Por lógica si el frente es de 5 Mts, igual es el fondo y los lados, sumando todo: 20 Mts. También puedes encontrarlo matemáticamente utilizando la ecuación 2) Y=10-X=10-5=5 Mts.

Pero… ¿Cómo demonios saber si efectivamente es un área mayor que la primera obtenida con matemáticas básicas? ¡Bah! simplemente multiplica lado por lado y obtén la nueva área, entonces:

Área=5×5=25 Mt2 Esta nueva área comparada con la primera que es de 16 Mt2 a todas luces es mucho mayor. Pero… ¿Cuántas gallinas cabrían en ella?

Aplicando la “regla de tres simple” quedaría:

25 Mt2 (10,000 Cm2)/1 Mt2 =250,000; este resultado entre los 900 Cm2 que ocupa cada gallina quedaría:

277.77 Gallinas.

¡Nada más y nada menos que 100 gallinas más! Y sin embargo es la misma cantidad de malla para el gallinero, o sea que la inversión en material es igual pero el espacio obtenido para meter gallinas es mayor ¿Qué tal?

¡Ah! Si “el ranchero afama´o de botas, chamarra y sombrero colora´o” hubiera “estudia´o” Cálculo Diferencial en un CBTis, Cetis, CBTA, CETMAR, etc, etc. hubiera “gana´o” más dinero.

Bueno, hasta aquí mi solución… pero José Alonso Gutiérrez Galván, no quiso quedarse sin aportar lo suyo que prescinde del Cálculo Diferencial.

El negocio del ranchero afama´o.

Los problemas del negocio de gallinas del ranchero afama´o siguieron, pues se dio cuenta que tenía que alimentar a las gallinas que comercializaba y que el maíz;  que era el principal alimento que daba a sus gallinas, se había encarecido demasiado.

El ranchero afama´o tenía una hectárea para sembrar y  se preguntó: Si la distancia entre surcos es de 1 m y la distancia entre cada planta es de 40 cm ¿Cómo puedo sacar la mayor cosecha de mi hectárea?

Su terreno era el siguiente:

Él se preguntó cómo sería la mejor forma de sembrar, entonces pensó sembrar verticalmente.

Sin sembrar los extremos de la hectárea determinó que tendría 98 surcos de 100 mts cada uno.

Distancia total =  N° de surcos X Distancia por surco lineal.

Distancia total =  98 Surcos X 100 m =  9,800 mts lineales de siembra lineal.

N° de plantas =  Distancia total lineal / Distancia entre plantas en la hectárea.

N° de plantas =   9,800 m / .4 m =  24,500 Plantas en la hectárea.

Encontró que se podrían obtener 24,500 plantas de maíz de su hectárea, pero busco una forma de obtener más plantas de su hectárea para obtener el máximo alimento posible para sus gallinas, entonces se le ocurrió sembrar en forma diagonal:

Como no sabía cálculo diferencial y como tenía todo el tiempo del mundo procedió a calcular la hipotenusa de cada triángulo comenzando por el de 1 metro.

Y así sucesivamente hasta que termino todo el cálculo de las hipotenusas y procedió a sumar las distancias totales, para conocer la distancia total lineal para esta forma de sembrar que se le ocurrió. Sus conclusiones fueron las siguientes:

Distancia total = 14,142.12  mts. Lineales.

N° de plantas = Distancia total lineal / Distancia entre plantas en la hectárea.

N° de plantas = 14,142.14 / .4 m =  35,355.35  Plantas en la hectárea.

Sus resultados fueron sorprendentes, si consideramos que cada planta producirá una mazorca de maíz, tenemos que por solo cambiar la forma de sembrar tendríamos  un 44 % más de cosecha, o 10,855 mazorcas más para alimentar a las gallinas. Esta vez el ranchero afama´o hizo lo correcto y está feliz porque tendrá más alimento para sus gallinas.

Y así fue como la justicia divina llegó tarde, pero al fin llegó para el ranchero afama´o.

Nota: Este es solo un ejemplo ilustrativo, ya que para determinar la mejor forma de sembrar deben tenerse en cuenta más variables.



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7 responses

28 11 2011
Jesús Hernández Pérez

Buenas noches, felicidades por el ejemplo es muy claro y me parece excelente la forma en que planteas el uso del calculo diferencial

25 03 2011
JULIO

Me da mucho gusto queeste espacio se enriquezca más día con día, hacía ya un buen tiempo que no lo visitaba muchas felicidades.

Muybuen material sigan asi la comunidad se los agradece.

17 07 2010
Evencio Mtz y Perez

Hola compañero

Me encuentro laborando en el CBTis No 13 de la ciudad de Xalapa, Veracruz, y un alumno me proporcionó la liga de tu página. Al igual que Usted siempre he andado buscando “novedades” para quitarle lo frío a la matemática, y en particular, al Cálculo(Diferencial e Integral).

Me parece muy bueno el enfoque que le das a la aplicación del Cálculo Diferencial y, efectivamente, se necesita dedicarle tiempo, dinero y esfuerzo a éste tipo de trabajo, aunque muchos crean que todo sale como si fuera manantial.

Respecto a tu invitación, me parece muy acertada siempre y cuando no exista ánimo de lucro, sino poner un granito de arena para coadyuvar en que los alumnos pierdan el terror a las matemáticas haciéndolas más “divertidas”. Me uno a tu propuesta y me pongo a tus órdenes para aprovechar esta tecnología que muchas veces es desperdiciada de manera brutal.

Atentamente

Evencio Martínez y Pérez
Docente del Turno Vespertino del CBTis 13
……………….

Hola Evencio…
Colega, coincido contigo en que la red se ha desperdiciado de manera brutal.
Gracias por unirte a esta idea y ten la plena seguridad de que es sin fines de lucro (nadie que haya escrito aquí hasta ahora ha buscado percibir dinero alguno). Si quieres participar con algunos tópicos enviámelos a la dirección iigroz@hotmail.com pueden ser de lo que sea (experiencias de vida, temas técnicos, y no importa si son temas que repiten lo que ya se ha dicho aquí, lo que pido es que sea material inédito.
Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

24 03 2010
Blanca Zamorano

Estimado profe: Tengo un problema, no le entiendo un problema, estudio en el SAETA Colon, Qro. del CBTA 115 y no se si el problema esta mal planteado, dice asi:
Calcula las medidas ideales de un terreno de 900 mt2 al que hay que cercar con malla ¿cuales serian las medidas maximas de area y el menor perimetro?

Es lo mismo que lo del rancherito de arriba, el cual entendi muy bien hasta que hubo que despejar… pero bueno ¿esta bien planteado el problema que expongo o de plano me faltaron datos?
De paso muchas gracias por su pagina me gusto mucho…
les envio bediciones y muchos saludos queretanos.
………….

Hola Blanca…
No faltan datos, lo que te indica el problema es que sobre un terreno de 900 m2 cuyas medidas pueden ser por ejemplo: 25×36; 60×15; etc, busques el menor perímetro (el área ya la tienes). Puedes hacerlo por prueba y error y después comprobarlo por medio del cálculo diferencial. Es todo lo que puedo ayudarte, lo demás tienes que descubrirlo tú.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

21 01 2010
eduardo. campeche

en la escuela preparatoria acudir a las clases de matematicas era un martirio, castigo, el infierno hablo de los 70-80, motivo por el cual me decidi estudiar una carrera donde no se mencionara dicha materia. he leido algunos escritos,hechos por usted, realacionados con la motivacion hacia nuestros jovenes me parecen excelentes y ademas raro en un ingeniero o al menos es la idea que tengo. adelante
felicidades.
…………

Hola Eduardo…
¡Ja! Sí que es raro. Gracias por tu comentario.
Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.

26 02 2009
salvador

Alonso. puedo recomendarte un libro que compre, se llama algebra y trigonometria del autor Sullivan de la editorial prentice hall 7ª ed. , aunque su titulo no sugiere cálculo. Maneja capitulos muy interesantes de construccion de funciones, biene con aplicaciones en máximos y mínimos reales , tales como las que presenta el Ing. Guerrero el cual, le envio un respetuoso saludo. ya que me ayudan mucho sus ejemplos para desarrollar mis clases.

saludos de juarez mx.

22 05 2008
Alonso Gutiérrez G.

Estimado Ing. Guerrero:

Primero que nada Ing. Guerrero me gustaría decirle que me agrada mucho su página, así es como nos deberían de enseñar en la escuela con ejemplos claros y sobre todo prácticos como el del ranchero afama´o, si yo hubiera aprendido calculo diferencial de esta forma tenga por seguro que lo aplicaría con mayor frecuencia en la vida cotidiana, sin embargo cuando termine mi carrera me quede con la idea de que haber llevado cálculo diferencial e integral había sido un total desperdicio de tiempo, en fin….
Inge Guerrero tengo una pequeña opinión respecto el problema del ranchero afama´o, creo que si el ranchero hubiera hecho el corral de manera circular obtendría una mayor área por lo siguiente:
El ranchero tiene los mismos 20 metros lineales de malla de alambre, ó sea que el perímetro de cualquier forma del corral debe de ser de 20.

La formula del perímetro de un círculo es de:

P=Л*D
Donde:
Л= Pi (3.1416).
D= Diámetro.

Si consideramos que el perímetro es una variable que tiene que ser constante ya que solo tenemos 20 metros de malla queda así:

20=Л*D

En la ecuación solo nos queda una incógnita, que cumple la regla; de que para resolver las incógnitas de distintas ecuaciones se tiene que tener una ecuación por cada incógnita en fin….Entonces nos quedaría así:

D=20/ Л
D=6.36m

Esto nos dice que el ranchero debió de haber hecho un corral circular de 6.36m de diámetro lo cual nos daría un área de:

A= (Л* D2 )/ 4
A=31.76 m2

Se podrían utilizar los mismos 4 postes ubicados equidistantemente en el corral circular. Lo anterior le daría mayor área al ranchero para su criadero de gallinas, de todas formas yo se que su ejemplo es educativo pero quería que usted analizara la posibilidad de que podría ser de esta forma en fin… Agradezco de antemano su atención y aahhhh se me estaba olvidando usted me podría decir donde conseguir algún libro o sitio en Internet donde pueda encontrar mas casos prácticos como este ya que viendo las matemáticas aplicadas me son mas agradables. GRACIAS.

——————-

Hola Alonso…

Muy buena solución para el ranchero afama´o, de botas, chamarra y sombrero colora´o, que no requiere aplicar el cálculo diferencial. Para evitar “detalles” agregaré al problema la palabra rectangular para “delimitar” su solución a esta figura particular. De cualquier manera es muy buena tu aportación puesto que va en el sentido de encontrar soluciones a los problemas independientemente de lo que traten e independiente de la estrategia que se siga ¿cuántas veces intentando aplicar una metodología particular nos tardamos horas para encontrar la respuesta a un problema cuya solución requiere solo matemáticas básicas? Igual para este problema bien podría haberse resuelto por “prueba y error” hasta llegar al mismo resultado.

Ahora bien, respecto de la pregunta que me haces acerca de donde puedes encontrar problemas similares, no conozco ninguna página que los maneje igual. Es mi estilo personal intentando hacer menos “frío” el cálculo diferencial. En la medida de mi tiempo continuaré construyendo problemas así, bromeando con el cálculo diferencial, a ver si consigo interesar a los estudiantes en esta disciplina.

Te envío saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

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