Tópicos de Geometría Analítica.

2 12 2009

Tema 23_c. Distancia de un punto a una Recta.

¿Que cómo lo hizo don René Descartes?

¡Bah! Como no tenía nada más importante que hacer (debes saber que en el año 1620 (±) no había computadoras, internet para “chatear”, cine, “discos”, y demás distractores comunes de la actualidad), entonces inventó una fórmula (¡Bendito Dios!) para calcular más fácil, rápidamente y con precisión (sin reglas, escuadras ni compás) la distancia de un punto a una recta. Es la fórmula que te muestro a continuación.

Pero… ¿Cómo interpretarla? ¿Quién demonios es A, B y C? y ¿quién es X e Y? ¿Y qué con las dos barritas verticales que encierran al numerador?

A, B y C, son los coeficientes de la ecuación general de la recta hacia la cual quieres determinar la distancia (la pared). X e Y son las coordenadas del punto desde el cual quieres calcular la distancia (o sea tu persona); las dos barritas verticales que encierran al numerador indican un valor absoluto, es decir que no importa el signo del resultado de la operación.

Para nuestro caso tenemos el punto: P(1, 6) y la recta: y=x-2, entonces…

Primero convirtamos la ecuación y=x-2 que está expresada de la forma y=mx+b, a la forma Ax+By+C=0 (forma General de la ecuación de una recta). Para hacerlo simplemente “pasamos” todos los términos del lado izquierdo del signo igual.

y=x-2, trasponiendo y reacomodando términos quedaría…

-x+y+2=0; por lo tanto: A=-1; B=1 y C=2

Y del punto P(1, 6); x=1; y=6; sustituyendo en la fórmula quedaría:

d= |(-1)(1)+(1)(6)+2| / ±√[(-1)2+(1)2]
d = |-1+6+2| / ±√[1+1]
d =|7| / ±√2
d = 7 / ±1.4142

d = 4.94 Unid. (Metros, centímetros, kilómetros o lo que se te pegue la gana en unidades de longitud).

Exactamente lo mismo que con el procedimiento descrito en los temas anteriores.

¿¡Qué tal!? A poco no es más sencillo…

sOLo pOr pRAcTICAr reSUeLVe LOs sIGUIeNTes eJErCIciOS.

Determinar la distancia existente del punto indicado a la recta cuya ecuación se muestra.

Nota. Te sugiero que el primer problema lo resuelvas aplicando por lo menos dos métodos.

P(-2, 5); Recta: y=6x+2
P(1, 3); Recta: y=-3x-4
P(10, -6); Recta: y=4x

Los resultados puedes verlos encimando el puntero del ratón en la ecuación respectiva.


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