Tópicos de Geometría Analítica.

23 11 2009

Tema 23_a. Distancia de un punto a una Recta.

Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia de ti hacia la pared más próxima, contestarías midiéndola en línea recta hacia qué punto de ella?

Lo cierto es que cuando se trata de distancias el que pregunta (o contesta) debe ser muy claro en su cuestionamiento (o respuesta), porque no es igual medirla de ti al punto más alto de una pared, o al más bajo o hacia un lado o hacia otro.

DistPUNTOrecta1aSi el que te pregunta no especificara el lugar de la pared al que quisiera saber la distancia, entonces, lo más lógico es medirla en línea “recta” al punto de la pared más cercano a ti.

Entonces, de la figura… ¿Cuál de las tres rectas determina la distancia de la persona a la pared mostrada?

Evidentemente la recta dos.

Ahora bien, la recta 2 tiene una característica “especial” respecto de las demás, es PERPENDICULAR de la pared hacia ti (o viceversa). Entonces, cuando se trate de medir físicamente la distancia de una persona hacia una pared de la cual no se especificó ningún punto, la medición debe hacerse siempre en forma perpendicular.

Todo lo anterior expresado “matemáticamente” significaría que:

La distancia de un punto a una recta siempre tiene que medirse en forma perpendicular a los objetos a los que se hace referencia.

Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu cabeza a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared hacia tu cabeza.

Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu rodilla a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared a tu rodilla.

Etc, etc, etc.

Ahora bien, si relacionamos lo anterior con don René Descartes, tendríamos que colocar todo en un Sistema Coordenado Cartesiano de la siguiente manera…

DistPUNTOrecta2aEntendido lo anterior, sabiendo ya de que se trata cuando se habla de medir distancias de un punto a una recta, resolvamos un problema que les dio muchísimos dolores de cabeza a los matemáticos antiguos, razón por la cual algunos terminaron en el manicomio (es broma), se trata de lo siguiente…

Determinar la distancia existente entre el punto P(1,6) y la recta: y=x-2

Nota. El punto puede representar: un auto, una hormiga voladora, una mosca aterrizando, Ana Sofía Henao (según mis alumnos), William Levy (según mis alumnas), una galaxia, Mamá campanita, la abuelita de Batman, o cualquier cosa que se te ocurra. La recta puede representar una pared, una viga, una escalera, la trayectoria de un cohete, una “resbaladilla”, un tobogán, el cable que sujeta a un poste, la cuerda con la que un vaquero de cachucha y tenis lazó al caballo prieto azabache, etc, etc.

Primero dibuja un sistema coordenado, luego coloca en él el punto P(1, 6). En el mismo sistema grafica la recta: y=x-2, te quedará algo como la siguiente figura.

DistPUNTOrecta3¿Cómo habría hecho Euclides para medir la distancia del punto a la recta? ¡Bah! El santo señor simplemente habría encimado su transportador sobre la recta para determinar los 90° en dirección al punto P, y con su regla habría medido la distancia. ¿Sencillo? Sí, pero ya sabemos que esta forma de resolver problemas geométricos es inexacta por mucho que los trazos se realicen con todos los cuidados. Cabe recordarte que una de las cosas -y solo una- que buscan las matemáticas es la EXACTITUD en todos los cálculos. Lo anterior, desde luego, no resta absolutamente ningún mérito al gran trabajo realizado por el llamado “padre de la Geometría”, es solo que, las cosas deben ir perfeccionándose cada día.

Pero la naturaleza, Dios, o quien sabe quién diablos (para desgracia de todos los estudiantes de bachillerato que no les gustan las matemáticas), hizo que naciera Descartes el cuál encontró, a diferencia de Euclides, una primera solución sin utilizar reglas, escuadras, ni transportadores.

Descartes sabía que para calcular la distancia entre dos puntos, aplicando una de sus fórmulas, necesitaba conocer sus coordenadas.

Distancia= √[(x2-x1)2 + (y2-y1)2]

Pero solo tenía uno, el punto P(1,6), el otro tenía que ser de la recta ¿pero cuál de todos?

Quizás ya lo adivinaste, es exactamente el punto en donde “choca” el segmento que inicia en el punto P formando una recta perpendicular a la pared. Pero… ¿Cómo determinar ese punto?

A Descartes se le ocurrió la siguiente solución.

1. Haciendo pasar una recta por el punto P que fuera exactamente perpendicular a la recta: y=x-2
2. Determinar la ecuación de la nueva recta.
3. Encontrar el punto de intersección (punto de cruce) entre ambas rectas.

Pero… ¡Oh problema! para aplicar esta solución tenía que determinar la ecuación de la nueva recta, y ya sabemos que para hacerlo mediante la fórmula (también inventada por él)…

y-y1=m(x-x1)

se requiere conocer las coordenadas de un punto (en este caso P(1, 6)) y la pendiente (m=?) de la misma…

¿Entonces cómo lo hizo? ¿Cómo determinó la pendiente (m) de la recta que es perpendicular a la recta: y=x-2?

Continuaremos en próxima ocasión…

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