Tópicos de Cálculo Diferencial.

2 11 2009

Tema 2. ¿Podrías obtener la derivada de una función sin saber Cálculo Diferencial?

Actualización: Noviembre 02 de 2009
Fecha de publicación inicial: Noviembre 19 de 2007

¡Claro que puedes!

La derivada de una función (o ecuación) es una operación matemática que te permite conocer la pendiente “general” de una curva. Después que se deriva, el resultado se iguala a cero y con esto se determinan las raíces de la ecuación resultante, es decir los valores en los que la pendiente tendría un valor de cero, obteniendo con ello los valores Máximo y Mínimo de la ecuación, a sea el punto más alto y más bajo de una curva.

MyMcurva75¿Complicado de entender? Simplemente observa la gráfica de la izquierda en donde están localizados los puntos Máximo y Mínimo de una curva que baja y sube.

Te voy a demostrar que la naturaleza evoluciona y que por lo tanto habiendo pasado muchas generaciones después de Newton y Leibniz ahora los jóvenes son más inteligentes solo que no quieren creérselo ni meterse en serio a estudiar matemáticas.

Voy a derivar una función y a partir de ello por simple inspección de los resultados tú derivarás otra. Que conste que a mí me llevó buen tiempo estudiar cálculo diferencial para aprender a hacerlo directamente, lo que no sucederá contigo porque al terminar este tema podrás ir con tus amigos a decirles que ya sabes derivar por lo menos funciones simples. ¡Qué tal!

Sea la ecuación (o función): y=x3; que representa… quien sabe, podría ser: el perfil de una montaña, la S de Superman reflejada en un espejo, una cascada, en fin… lo que sea, derivémosla.

La primera derivada de la función es: y´=3x2
La segunda derivada obtenida a partir de la primera es: y´´=6x
La tercera derivada obtenida a partir de la segunda es: y´´´=6

Ahora tú obtén la primera, segunda y tercera derivada de la siguiente función. Te doy unos minutos para que lo hagas. Hazlo con solo inspeccionar los resultados anteriores.

y=5x3

La primera derivada es: y´=
La segunda derivada es: y´´=
La tercera derivada es: y´´´=

Apostaría que resolviste el problema con solo analizar los resultados del primer problema, pero, si acaso no lo hiciste el resultado es: 1). y´=15x2; 2). y´´=30x; 3). y´´´=30

¿Cuál es la clave en todo el proceso?

Simplemente multiplicas el coeficiente de la X con el exponente y a este último le restas uno.

En realidad no es complicado derivar una función, aunque lógicamente no todas son como las anteriores, hay algunas que incluso sabiendo derivar te llevará tiempo obtener el resultado (quizá te perderás algunos programas de la TV, novelas, caricaturas, etc.), pero hay otras –las más sencillas- que puedes derivarlas fácilmente.

Es importante saber derivar una ecuación, pero lo es más todavía saber interpretar el resultado. Por ejemplo la primera derivada de la función: y = x2+3 es y´=2x; Pero… ¿el 2x que me dice?

En primer lugar, 2x es la pendiente “general” de la función x2+3 Ahora bien, la función y=x2+3 representa una curva la cual a su vez representa o es el resultado de algún proceso físico o no-físico, por ejemplo la trayectoria de un avión durante cierto tiempo, las utilidades de una empresa, el número de productos fabricados, etc. Una curva puede representar infinidad de cosas o de procesos.

Si revisas la figura que coloqué al principio, el MáximoMínimo de una función puede estar en cualquiera de los cuatro cuadrantes del sistema coordenado pero siempre se localizan en el lugar en donde la pendiente de la curva es cero. Por lo tanto, si la primera derivada representa la pendiente “general” de una curva y a nosotros nos interesa conocer solo el punto en donde la pendiente es cero entonces simplemente igualamos el resultado de la primera derivada a cero, quedando: 2x=0; al despejar x queda: x=0/2=0; o sea que x=0; lo que quiere decir que existe un máximo o un mínimo (todavía no sabemos cuál es) en la coordenada x=0.

Para saber si la curva tiene un Máximo o Mínimo simplemente se obtiene la segunda derivada y se atiende al signo de la cantidad que resulte. Si el signo es positivo, entonces la curva tiene un mínimo. Si el resultado es negativo la curva tiene un máximo. Derivemos pues de nuevo. Obtenemos y´´=2; el resultado es positivo por lo que concluimos que hay un Mínimo. Así pues, la ecuación y=x2+3 tiene un Mínimo.

¡Terminamos!

¿Sentiste complicado el tema? Mi intención es que veas que el Cálculo Diferencial en realidad no es tan complicado como se dice, aunque sí requiere práctica, cosa que harás más adelante.

En los siguientes temas abordaré los conceptos previos del cálculo diferencial, como son: Función, Límites, Regla de los 4 pasos, etc. hasta llegar a la aplicación de fórmulas para agilizar la determinación de una o más derivadas de una función. Al final escribiré acerca de sus aplicaciones. En cada caso intentaré hacer referencia a situaciones reales, pero habrá ocasiones en los que el tratamiento será completamente teórico.

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21 responses

24 02 2011
ivan

hola ingeniero espero q este muy bien:
estoy estudiando ing de sistemas pero soy muy malo para calculo diferencial y quería preguntarle q tipo de conocimientos previos debo tener antes de abarcar esta materia y que libro me recomienda para reforzar los temas que se miran en clase y como me recomienda tomar el estudio de el calculo, q tipo de pasos debo seguir… agradezco su respuesta y su comprencion, saludos.
……………

Hola Ivan…
Previo al Cálculo requieres Geometría Analítica. ¿Ya revisaste los temas que tengo escritos en la sección de tópicos de Cálculo Diferencial e Integral? Por si acaso te dejo el enlace: https://iguerrero.wordpress.com/category/topicos-de-calculo-d-e-i/
Lo primero que debes hacer es analizar algún problema que se pueda resolver tanto con las matemáticas que ya conoces como con Cálculo Diferencial. En la sección que te comenté hay varios.
¿Libros de Cálculo? Cualquiera después de entender para qué sirve dicha técnica matemática.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

4 07 2010
cristina

(HOLA) Representa la gráfica de la función f(x) = – 3/x²…como lo hago? que gráfica es. (GRACIAS).
……………

Hola Cristina…
Para graficar asigna valores a x y obtén los correspondientes a f(x) Todos los valores que obtengas concéntralos en una tabla y localiza los puntos en un sistema coordenado cartesiano. Quizá te sirva el tema que desarrollé para una circunferencia. Te dejo el enlace: https://iguerrero.wordpress.com/2009/07/29/topicos-de-geometria-analitica-9/
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

22 03 2010
mary

hola!
creo que yo n o entiendo nada de calculo: soy de las personas que siempre tienen un porque y quiro saber de donde sale todo por eso me es muy dificil entender el calculo yo voy a exponer sobre derivadas y explicar que entendi pero para mi mala suerte no se ni como voy a hacerle ,
gracias y que pases una buena tarde.
………….

Hola Mary…
Te dejo el enlace al tema 1, 2 y 3, son suficientes para entender lo que es el cálculo diferencial.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
https://iguerrero.wordpress.com/2009/02/17/topicos-de-calculo-diferencial-34/
https://iguerrero.wordpress.com/2009/02/23/topicos-de-calculo-diferencial-35/
https://iguerrero.wordpress.com/2009/03/04/topicos-de-calculo-diferencial-36/

15 11 2009
Paola Pequeño

Buenas tardes ing. Guerrero estoy cursando la preparatoria en el bachillerato de ciencias exactas y estamos viendo la comprobacion de las derivadas y no les entiendo usted podria explicarme el problema es el siguiente:
r=^1-2 Ø ese es el problema , no se si raiz se represente asi=^ .
Gracias de antemano saludos.
………….

Hola Paola…
El simbolo ^ representa elevar a una potencia un número. Para entender las derivadas y en general el cálculo diferencial necesitas leer todos los temas que tengo escritos al respecto (desde el tema uno). Te dejo un enlace a ellos.
https://iguerrero.wordpress.com/category/topicos-de-calculo-d-e-i/
Están desordenados porque los he estado actualizando pero es cuestión de que busques entre todos el tema 1 y así sucesivamente.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

7 05 2009
Jorge Arias

Inge.
Me puede decir donde tener información “con manzanas” sobre ejemplos de la aplicación de la derivada?
Gracias de antemano y saludos!
…………..

Hola Jorge…
¿Ya viste todos los ejemplos que tengo en: https://iguerrero.wordpress.com/category/topicos-de-calculo-d-e-i/ solo muévete hacia abajo de la serie de artículos que aparecen y si necesitas da un clic en: entradas anteriores, traté de explicarlos lo más sencillo posible.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

31 01 2009
Fer

Hola, primero que nada he de felicitarlo por el aporte que hace a quienes queremos aprender esto(la verdad yo odio el calculo y el calculo me odia a mi) de cualquier manera no por eso me doy por vencido y estoy tratando de aprender T_T. Bueno solo quisiera que nos explicara los terminos: Funcion, Derivada, integral en terminos no matematicos si es que se puede se que es una tonteria pero en fin. Gracias, a y si me pudiera pasar su mail para pedir mas ayuda jiji de nuevo gracias ing. Guerrero-sama.
…………

Hola Fer…
Quizá no has leído todos los temas de cálculo diferencial que he escrito, por ejemplo lo que preguntas acerca de una función está en:
https://iguerrero.wordpress.com/2007/11/24/topicos-de-calculo-diferencial-6/
Lo demás está en:
https://iguerrero.wordpress.com/2007/11/19/topicos-de-calculo-diferencial-4/
https://iguerrero.wordpress.com/2007/11/10/topicos-de-calculo-diferencial-3/
Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
P.D. Todos los temas los encuentras en CATEGORIAS (columna derecha: Tópicos de Cálculo D e I)

30 05 2008
ADAN

como puedo resolver el siguiente problema:
¿que altura debe tener el cono circular recto inscrito en un cono dado para que el volumen resulte maximo, si el vertice del cono inscrito se hace coincidir con el centro de la base del cono dado?
…………

Hola Adan…
Lee el primer tema por favor.
https://iguerrero.wordpress.com/2007/11/06/topicos-de-calculo-diferencial/
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

29 01 2008
iguerrero

Hola Carolina…

Mi idea es analizar completamente al cálculo diferencial, solo que no puedo hacerlo tan rapidamente como quisiera. Libros hay bastantes incluso páginas en internet en donde puedes estudiar al respecto, solo busca en google.

Te envío saludos y está al pendiente, trataré de subir más información sobre cálculo.

Ing. I. Guerrero Z.

29 01 2008
carolina

hola ing, me parece muy buena esta pag, y le quisiera preguntar cuales son los topicos de una derivada. o al menos me recomiende alguna bibliografia donde me hable de esto…

19 12 2007
iguerrero

Hola Roberto…

Trabaja la función directamente, aplica la fórmula que ya te dije (U/V).

No siempre se pueden quitar raíces.

Saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

19 12 2007
roberto lagunas

Perdon inge, en la funcion de la raiz cuadrada de x-2, sobre 3-x
es sólo derivar por medio de la regla de la cadena, pero no me ha salido,
solo el numerador esta aafectado por la raiz cuadrada.
No es derivacion implicita, yo me equiovque, sin embargo quisiera saber como deshago la raiz…’

Gracias nuevamente.

Aprovechando un saludo cordial de navidad para ud y los suyos.

19 12 2007
roberto lagunas

Gracias Inge, si solo afecta al numerador, no tengo q racionalizarlo para desaparecer la raiz y despues aplicar el cociente de funciones, ?

11 12 2007
iguerrero

Hola Roberto…

Si la raíz afecta solo a (x-2) utiliza la fórmula de (U/V) , pero si la raíz afecta a ambos binomios (x-2)/(3-x) entonces utiliza primero la fórmula de U elevada a la n potencia, y después tendrás que utilizar la de U/V.

Saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

11 12 2007
ROBERTO LAGUNAS

Hola inge, muy interesante su pagina tengo una pregunta como derivo implicitamente la raiz cuadrada de la funcion x-2, sobre 3-x.
hago la raiz a un medio y luego…
gracias por su apoyo

27 11 2007
iguerrero

Hola Norma…

Un centro de carga es una caja que contiene uno o varios interruptores (pastillas termomagnéticas) que controlan uno o varios circuitos los cuales a su vez alimentan una o varias áreas de una instalación eléctrica residencial, comercial o industrial. La caja (metálica) por lo general está empotrada en la pared y dentro de ella toda la serie de interruptores.

Pero me queda una duda, ¿Ya leíste los temas que desarrollé respecto de los centros de carga? Ahí hay imágenes, conceptos, capacidades, etc. de centros de carga.

Por si no lo has hecho te dejo los enlaces correspondientes…

https://iguerrero.wordpress.com/2007/06/12/topicos-de-instalaciones-electricas-12/
https://iguerrero.wordpress.com/2007/07/15/topicos-de-instalaciones-electricas-20/
https://iguerrero.wordpress.com/2007/09/20/topicos-de-instalaciones-electricas-29/
https://iguerrero.wordpress.com/2007/09/24/topicos-de-instalaciones-electricas-30/
https://iguerrero.wordpress.com/2007/09/26/topicos-de-instalaciones-electricas-31/
https://iguerrero.wordpress.com/2007/09/27/topicos-de-instalaciones-electricas-32/

Estúdialos y avísame si a pesar de ello no te queda claro.

Recibe saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

27 11 2007
Norma

Hola Ing. I. Guerrero, en verdad me parece super interesante su pagina, yo estudie en el CBtis 229 en Tehuacan, Pue y me parece realmente atractivo encontrar una pagina como lo es esta. Tengo un problema, no se como se hace un centro de carga, me dan el diagrama unifilar y la memoria de calculo, me han explicado no se cuantas veces como se realiza el CC, ya hasta trate de visualizarlo y nada… por favor necesito aprender, realmente me gusta pero no tengo los fundamentos y se me hace muy complicado, necesito que me expliquen con peras y manzanas.

Un abrazo muy fuerte y gracias de antemano.

20 11 2007
Jorge Itzam

Ok, muchas gracias Ing. I. Guerrero con mucho gusto le pago un refresco y hasta las papas..

Gracias por tomarse la molestia de responder y sacarme de la duda.

Le deseo todo el Exito posible que de seguro en lo que le gusta hacer ya lo tiene, que pase un buen dia..

Saludos.

20 11 2007
iguerrero

Hola Jorge…

Si vas a determinar áreas, hazlo utilizando el diámetro exterior del conductor, por medio de la fórmula:

Area=(pi)(diám. exterior elevado al cuadrado)/4

Luego sumas las áreas que resulten (de acuerdo al número de conductores que tengas) y busca en la tabla de diámetros de tuberías.

Recibe saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

P.D. Me debes un refresco.

20 11 2007
Jorge Itzam

Hola Ing. I. Guerrero, gracias por la informacion.. la unica duda que tengo acerca de la tabla que me proporciono es de que si el diametro sobre el aislamiento se le saca el area y esa area se le suma el Área nominal de la sección transversal para asi sacar el area total en mm2 del conductor? o cual seria el procedimiento? lo que pasa es que despues de sacar el area total del conductor que necesito, hare los calculos para seleccionar la tuberia conduit adecuada.

De nuevo le agradesco la atencion recibida, que pase un agradable dia.
Saludos

20 11 2007
iguerrero

Hola Jorge…

Las tablas Viakon, para el caso de baja tensión llegan hasta el calibre 1000 MCM. Pero si buscas en dicha página encontrarás calibres más gruesos solo buscalos para Alta Tensión.

Te dejo el siguiente enlace:

http://www.badongo.com/file/9606292

Recibe saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

20 11 2007
Jorge Itzam

Buen dia Ing. I. Guerrero, navengando por internet en busca de informacion que necesito para una tarea me encontre con su pagina web la cual me parece en verdad interesante pues ademas d sacar articulos muy buenos despeja muchas dudas acerca de la electricidad aparte de dar informacion muy veraz. Y a razon d ello quisiera pedirle de favor si me puede mandar o dar la direccion en dond puedo encontrar la tabla completa en dond aparece las areas de los conductores en mm2 con aislamiento pues la tabla que tengo solo trae hasta el calibre de 600 MCM y en problemas que tengo que resolver la tabla se queda corta, busque en el viakon y en la nom-sede 2005 y no la encontre o por minimo la pase por alto, una de 2 de plano no esta esa tabla y la dejaron de publicar (que la vdd es lo mas ilogico jaja) o soy muy malo para buscar informacion(se me hac que es la mas correcta jeje).

Sin mas por el momento le agradesco d antemano la atencion proporcionada esperando su pronta respuesta y deseando en verdad que tenga un agradable dia.

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