Tópicos de Cálculo Diferencial.

25 09 2009

Tema 8. Límite de una Función.

Actualización: Septiembre 24 de 2009
Fecha de publicación inicial: Febrero 02 de 2008

La mejor manera de entender el límite de una función es trabajando un problema. Grafiquemos pues, la siguiente ecuación (o función como quieras llamarle):

F(x)=(x2-1)/(x-1)

Demos los siguientes valores a x: 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3

CalDif1Si x vale 4; entonces f(x)=5
Si x vale 3; f(x)=4
Si x vale 2; f(x)=3
Si x vale 1; f(x)=0/0=?????
Si x vale 0; f(x)=1
Si x vale -1; f(x)=0
Si x vale -2; f(x)=-1
Si x vale -3; f(x)=-2

Todo funciona normal con cualquier valor para x con una sola excepción, x=1, en este caso el resultado para F(x) no está definido, lo que da como consecuencia que la preciosa línea de la gráfica izquierda se corte en ese punto. Pero… ¿qué quiere decir “no está definido”?

Físicamente lo anterior equivaldría a decir lo siguiente.

La National Aeronautics and Space Administration -o sea la NASA– emitió el siguiente boletín de prensa.

“Lanzamos un cohete directo a Marte cuya trayectoria estuvo regida durante mucho tiempo por la ecuación: F(x)=(x2-1)/(x-1). Hasta la coordenada x=0 el cohete iba bien, pero al llegar a la coordenada x=1 ¡desapareció! y un poco después de dicha coordenada volvió a aparecer, luego siguió su curso normal todo el tiempo. No sabemos qué pasó en x=1, pero sospechamos que l@s astronautas desconectaron la nave en ese punto para tomarse unas fotografías con un@s hermos@s extraterrestres que venían directo y sin escalas de la constelación de Orión.”

¡Ja! ¿Te lo creerías?

Bien, cerremos este asunto, no se puede ¡y ya!, hagamos como hacen algunas personas en matemáticas, en cuanto ven que algo no funciona dejan todo y se van.

¡Un momento! Tú no eres de esas personas… ¿O sí? Cada vez que se te presenta un problema buscas por todos los medios encontrarle solución, y si no se puede, bueno… por lo menos en el camino aprendiste o recordaste varias cosas.

¿Qué tal si aplicamos algo de algebra y factorizamos la expresión?…

El numerador de la expresión es un binomio conjugado, separémoslo en sus partes:

(x2-1)=(x-1)(x+1) Ok´ Sustituyámoslo…

F(x)= (x-1)(x+1)/(x-1); eliminamos (x-1) arriba y abajo y queda: x+1,

Entonces: F(x)=x+1

Luego, si x=1, entonces:

F(x)=1+1=2 ¡Listoooo!

Observa que esta expresión: F(x)=x+1 funciona para cualquier valor de x y da exactamente lo mismo que su equivalente:

F(x)= (x-1)(x+1)/(x-1).

Como resolver esto...Todo bien, pero… una asquerosa mosca cayó en la sopa. Si x=1 funciona bien con la expresión F(x)=x+1 debe funcionar igual de bien para su equivalente F(x)=(x2-1)/(x-1). Sin embargo no sucede así ¿por qué?

Newton y Leibniz se toparon exactamente con el mismo problema y no lo dejaron ahí, por el contrario decidieron encontrarle solución. Su principio fue: si un valor funciona bien para una función igual tiene que funcionar en su equivalente. Empezaron pues, a buscar cómo demonios resolverlo.

Hicieron un razonamiento similar a lo siguiente.

Observando la serie de resultados para F(x) puedes ver que forman una secuencia:

5, 4, 3, ?, 1, 0, -1, -2…

Si valiera aplicar la lógica diríamos que el valor del signo de interrogación es 2, lástima que las matemáticas no funcionen así nomás, inventando números, cambiando signos, etc.

Pero…

¿Qué tal si damos valores a x cercanos a 1 aunque sin llegar a él? Por ejemplo:

1.5, 1.3, 0.5 y 0.7 Veamos que resulta…

Si x vale 1.5; f(x)=2.5
Si x vale 1.3; f(x)=2.3
Si x vale 0.7; f(x)=1.7
Si x vale 0.5; f(x)=1.5

Observamos que en la medida en que acercamos el valor de x a 1 el resultado para F(x) se acerca a 2

¿Te recuerda algo de los temas anteriores?. Recuerdas lo visto en el tema 5 de estos tópicos en donde te comentaba respecto de la división por cero. Dividir un número entre cero no es posible, pero entre una cantidad cercana a él sí se puede. Entonces, aplicando este mismo criterio podríamos acercar tanto el valor de x a 1 -pero sin llegar a él- que veríamos que el resultado para F(x) sería prácticamente 2. Esto lo descubrieron hace cuatrocientos años Newton y Leibniz y lo escribieron de la siguiente manera:

Lim (x2-1)/(x-1)=
x→1

Lim (x-1)(x+1)/(x-1)=
x→1

Eliminando (x-1) queda…

Lim (x+1)=2
x→1

Y se lee: el límite de la función x+1, cuando x tiende a 1 es igual a 2

¿¡Qué tal!?

Bien, entonces ya tienes otro procedimiento para calcular el valor de una función y aplicarlo en los casos en donde exista la división de 0/0. Si no hay tal división entonces simplemente aplicas el valor del límite y San se acabó.

Esta misma idea de “acercar” un valor a cero, la vamos a utilizar para encontrar el límite de la pendiente de una recta tangente a una curva la cual debe ser la pendiente de una recta secante cuando ambas tienen un punto común, pero eso será motivo de alguno de los siguientes temas. A partir de ahora todo lo que veamos estará referido a límites de una función, tal es la clave del cálculo diferencial.

Solo por practicar resuelve los siguientes límites.

Lim (x2-4)/(x-2)=
x→2

Lim (x2-9)/(x-3)=
x→3

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5 responses

23 10 2009
vicente juarez hdz

ing. estoy visitando sus topicos y me han sido de gran ayuda, soy estudiante grande y quiero intentar forjrame algo y usted me ha dado un motivo mas, por lo cual quisiera ver si me apoya con sus topicos para ir entendiendo mas el calculo diferecnial como lo explica es lo mas sencillo que he encontrado y estoy empezando en la universidad politecnica de gomez palacio dgo, pero me desespero por que hace mucho que deje de estudiar todo lo referente a matematicas, tengo 48 años, y quisiera, que me apoyara a ver mejor el panmorama asi como lo relacionado con las matrices, metodo de gauss y metodo invertido de gauss, quedo en espera de su respuesta y le agradezco esta oportunidad de que haya alguien asi como usted interesado en la educacion gracias.
……………..

Hola Vicente…
Creeme que me encantaría ayudarte, pero por el momento no puedo hacerlo debido a la carga de trabajo que tengo. Más adelante escribiré más temas de cálculo diferencial.
Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.

25 09 2009
Abraham

Muchas gracias por el conocimiento compartido. Y Gracias por la respuesta a una pregunta de instalaciones electricas (tarde pero seguro). Si las matematicas las enseñaran en las universidades con el fin de que el alumno las entienda, otro gallo nos cantaria a los estudiantes mexicanos, pero tal parece que los maestros de matematicas (sobre todo los que no tienen la licenciatura en educacion), solo van a “apantallar” a los alumnos y algunas veces ni ellos entienden exactamente lo que estan explicando. Muchas gracias por la forma tan amena de explicar los temas (todos). Sinceramente desde Chilpancingo, Guerrero.
…………..

Hola Abraham…
Gracias por tu comentario.
Saludos cordiales y que bueno que te sirvió.
Ing. I. Guerrero Z.

23 09 2009
José Escobar

ing. gracias por esas publicaciones de los topicos del calculo. me parecen muy buenas como ayuda al estudiantado. y no soy un opinador de oficio.
……………

¡Ja! Gracias por tu comentario.
Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.

15 08 2009
Diego

Hola Ingeniero una pregunta los límites de los ejercicios anteriores son: ¿ 4 y 6 ? , solo para saber si ya lo entendí =) . Graciaaas por tomarse el tiempo para hacer estos tópicos, ¡¡están muy buenos!!
…………..

Es correcto Diego…
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

4 06 2009
daryo

disculpa enconre un error
pusiste q
(x^2-1)
se puede descomponer en (x-1) (x+1)
no estarias ablando de la expresion (x-1)^2
si te fijas
en la expresionq utilisaste (x^2-1)
solo “x” esta elevado al cuadrado, no 1
asi q solo qedaria como x(x)-1

espero su respuesta
aver si yo estaba en lo correcto o eqivocado
saludos desde tijuana.
………..

Hola daryo…
No hay error. (x^2-1) es un binomio llamado “conjugado”, el cual factorizado se expresa como: (x-1) (x+1), simplemente multiplica ambos factores y llegas al resultado: (x^2-1)
De cualquier manera gracias por tu comentario.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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