Tópicos de Geometría Analítica.

11 09 2009

Tema 18. Ángulo de la recta que se forma al unir dos puntos dados.

Actualización: Septiembre 09 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 14 de 2007

Vayamos directamente al grano. Resolvamos un problema.

Te doy dos puntos: P1(2, 3); P2(5, 6) que pueden representar los lugares en donde están dos cosas, por ejemplo dos autos, dos personas, dos planetas, dos hormigas, etc. Ubícalos en un Sistema Coordenado Cartesiano y determina:

AnguloEntreDosRectas11). Ángulo respecto al eje de las X, de la recta que se forma al unir P1 y P2.
2). Distancia (c) entre ambos puntos.

Solución.

1). Al colocar los puntos y unirlos mediante una recta resulta una gráfica como la de al lado, puedes prolongarla en sus extremos. Después –tal y como ya lo hemos hecho en otra ocasión- formamos un triángulo rectángulo (catetos a, b y c). De inmediato podemos ver que se forma un ángulo θ (theta) entre la recta y el cateto adyacente (a).

Nota. Recuerda que puedes utilizar las letras que quieras para designar a los catetos y a la hipotenusa del triángulo. Si no te gustan la a, b, y la c, utiliza otras, es perfectamente legal, puedes estar completamente seguro que no irá la policía de los escrúpulos matemáticos por ti (y si tienes un profesor que te dice que siempre deben ser: a, b y c; además en un orden específico, simplemente ignora sus palabras).

A estas alturas debes saber –o recordar- que hay una identidad trigonométrica denominada Tangente, la cual es igual al Cateto Opuesto (b) entre el Cateto Adyacente (a), matemáticamente:

Tg θ = Cat.Op./Cat.Adyac.

Pero el Cateto Opuesto (b) es exactamente igual a Y2-Y1, y el Cateto Adyacente (a) es exactamente igual a X2-X1, por lo tanto:

Tg θ = (Y2-Y1)/(X2-X1)

Entonces sustituyendo las coordenadas de los puntos quedaría:

Tg θ = (6-3)/(5-2) = 3/3 = 1

Luego…

θ = Tg-1(1) = 45º

2) Para el caso de la distancia aplicamos la fórmula ya conocida:

d = √ (X2-X1)2+(Y2-Y1)2
d = √ (5-2)2+(6-3)2
d = √ (3)2+(3)2
d = √ (9+9)
d = √ 18
d = 4.24

Pero vayamos más allá, ¿cuál es la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos?

Si m=Tg θ, entonces: Tg θ = Tg 45° = 1, por lo que: m=1

Utilizando m y las coordenadas de un punto (utilicemos las coordenadas de P1), entonces:

Y-Y1 = m(X-X1),

Sustituyendo datos queda:Y-3=1(X-2); Y=X-2+3; Y=X+1

Entonces la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 y P2 es:

Y=X+1

logowpcombinadorojorojo


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3 responses

11 09 2009
JUAN MEJIA (ex alumno)

Soy ex alumno del sistema CETIC egresado del CBTIS en la generacion de 1986 quiza el inge no me recuerde pues ha tenido muchos alumnos ala fecha pero yo siempre lo recuerdo con mucho afecto ahora vivo en Houston TX. y me gustaria que fuera tan amable en contestar mi correo mi nombre es Juan Manuel Mejia y termine casado con Hermelinda Jimenez ex alumna del inge tambien de la cual sigo enamorado desde el primer momento que la vi en el CBTIS. Graciasy espero su contestacion.
………..

Hola Juan…
Claro que me acuerdo de ti y de tu esposa, ambos, jóvenes empeñosos, trabajadores y muy responsables. En tu caso, junto con tus compañeros fueron los primeros alumnos que tuve.
Me da mucho gusto saber de ustedes, y sobre todo que están bien. Por ahí conservo una fotografía de aquellos ayeres.
Por favor enviame una fotografía junto con tu familia a la dirección de correo: iigroz@hotmail.com
Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.

14 09 2007
iguerrero

Hola Jorge…

Adelante Colega y que sea para bien.

Un abrazo.

Ing. I. Guerrero Z.

14 09 2007
jorge

La propuesta que propone para el aprendizaje de la geometria analitica es muy interesante. Vincula el contexto con la matematica, nexo que todo profesor debe buscar en sus sesiones de aprendizaje. De hecho que la compartire con mis pulilos del quinto de secundaria. Gracias Ing. Guerrero. Desde Peru.

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