Tópicos de Geometría Analítica.

6 07 2009

Tema 4. ¿Cómo hacer una ECUACIÓN?

Actualización: Julio 6 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Julio 14 de 2007.

Partimos de una situación física REAL, algo que puedas VER y TOCAR.

Supón que quieres hacer una pequeña caja abierta por arriba a partir de una simple hoja cuadrada de papel de 10 cms. de lado, para colocar en ella pequeñas cuentas de chakira (de las que se utilizan para hacer pulseras, collares, bolsas, etc).

PAPEL3Supón también que necesitas que a la caja le quepa la mayor cantidad de cuentas posible, o sea que tenga el mayor volumen posible.

1. Tienes la hoja cuadrada de papel de 10 Cms. de lado.

2. Recortas una cantidad X de papel de las esquinas para dejar unas “pestañas” a los lados. X puede ser cualquier medida: 1 Cm, 2, 1.5, etc.

3. Las pestañas te quedarán de largo: 10-2X.

4. Doblas las “pestañas” y los lados de la caja te quedan de: 10-2X.

5. Formas la caja abierta por arriba y te queda: lados de 10-2X, y la altura de la caja de X.

Ahora bien, si recuerdas lo que viste en tu educación secundaria en la asignatura de física, el Volumen de cualquier objeto sólido es: (lado) por (lado) por (lado) o bien: largo por ancho por alto… por lo tanto para nuestra caja el volumen sería:

(10-2X)(10-2X)(X)

¿De acuerdo?

Escrito de otra forma: V = (10-2X)(10-2X)(X) o también si queremos utilizar otra letra en lugar de V podemos utilizar Y = (10-2X)(10-2X)(X), para hacerla que se parezca a las ecuaciones que ya hemos visto…

En realidad puedes utilizar cualquier par de letras que te gusten en lugar de X e Y. Te garantizo que se no se molestarán ni Pitágoras, ni Al Juarismi, ni el vendedor de aguas frescas de la esquina…

Multiplicando la parte derecha de la ecuación queda:

Y=(100-20X-20X+4X²)(X)=100X-40X²+4X³ es decir:

Y = 100X-40X²+4X³

¡Listo!

Acabamos de inventar una ecuación partiendo de una situación física REAL, para una hoja de papel que forma una caja al recortar sus esquinas y doblar las “pestañas” que quedan.

¿Difícil? Si no lo entendiste más vale que repases los temas de algebra que debiste haber estudiado en semestres anteriores.

Bueno… y esa ecuación que acabamos de inventar ¿para que sirve?

Recuerda que estamos buscando una caja con el mayor volumen posible y de acuerdo a lo que vimos en el tema 1, tenemos que darle valores a la X y obtener valores de Y que es la variable que representa el volumen. Así que ¡ánimo! a darle valores.

Empecemos con CERO, y digamos: Si X vale CERO entonces Y queda:

Y = (100(0)-40(0)²+4(0)³) = (0-0+0) = 0

Entonces, Si X vale CERO Y vale CERO también, pero ¿y ese resultado matemático como debemos interpretarlo en nuestra realidad física?

Puesto que la Y significa el volumen de la caja podemos decir…

Si la altura X de la caja es CERO, entonces la caja no tendrá ningún volumen, o dicho de otra manera NO HAY NINGUNA CAJA. Y es cierto, porque cuando la altura X es CERO la hoja de papel está plana (figura 2)… ¿lo entendiste?

Si acaso no lo comprendiste regrésate un poco más atrás y lee de nuevo.

Continuemos…

Demos ahora a la X un valor de 1.

Recuerda, estamos buscando el mayor volumen de la caja, es decir la Y mayor.

Sustituyendo el valor 1 en la X quedaría: Y = (100(1)-40(1)²+4(1)³) = 100-40+4 = 64; es decir, cuando X=1; Y=64

Interpretado en nuestro mundo real diríamos: Si X vale 1 Cm.; entonces Y vale 64 Cms. Cúbicos. O bien, en relación con la caja, diríamos:

Si la altura de la caja es de 1 Cm, entonces su volumen es de 64 Cms. Cúbicos. ¿Ok´?

Bueno… por lo menos ya tenemos un valor diferente de cero para el volumen de la caja. Nuevamente te recuerdo que estamos buscando el mayor volumen posible de la dichosa cajita.

Continuemos y demos ahora un valor de 2 a la X. Digamos: Si X vale 2, entonces Y vale…

Y = (100(2)-40(2)²+4(2)³) = 200 – 160 + 32 = 72; es decir, cuando X=2 Cms; Y=72 Cms. cúbicos. Si la altura de la caja es de 2 Cms, el volumen de la misma es de 72 Cms³.

Si comparas ambos resultados (X=1 y X=2) notarás que el volumen aumentó, eso querría decir que si te dieran a elegir cortar a la hoja de papel UNO o DOS centímetros en sus esquinas desde luego que elegirías cortarle dos centímetros porque con ello obtendrías mayor volumen de la caja.

Pero… demos más valores a la X para ver que más descubrimos.

Si X=3, entonces Y= (100(3)-40(3)²+4(3)³) = 300 – 360 + 108 = 48 Cms³. ¿¡Que tal!? El volumen se redujo.

¿Quiere decir que si le cortamos a la hoja 3 Cms en las esquinas la caja que se forma disminuye su volumen? Así es, aunque la caja te quedaría más alta, su volumen es menor.

Continuemos. Ahora démosle un valor a la X de 4.

Y = (100(4)-40(4)²+4(4)³) = 16 Cms³. Como te darás cuenta el volumen sigue reduciéndose.

Continuemos… Si X=5 entonces Y=(100(5)-40(5)²+4(5)³)=0 Cms³.

¿Y este resultado como debemos interpretarlo?

Probablemente ya lo concluiste tú, sin embargo el razonamiento sería: ¿Si quitas 5 Cms. en cada esquina de la hoja de 10 Cms cuanto te queda de la misma…? NADA. Por lo tanto su volumen será CERO, por eso cuando: X=5, entonces Y=0.

Recapitulando acerca de los valores que obtuvimos a lo largo del proceso matemático.

Si X=0, Y=0
Si X=1, Y=64
Si X=2, Y=72
Si X=3, Y=48
Si X=4, Y=16
Si X=5, Y=0

¿Entre qué valores de X vemos que aumenta el volumen de la caja?

Puedes ver que entre 1 y 2 hay un crecimiento mayor. Pues bien ahora démosle a la X un valor entre 1 y 2, por ejemplo 1.5

Y = (100(1.5)-40(1.5)²+4(1.5)³) = 73.5

Observa que el volumen de la caja aumentó.

¿Pero habrá un mayor volumen? , solo que te corresponderá encontrarlo a ti.

Este procedimiento para encontrar el mayor volumen recibe el nombre de prueba y error.

En cálculo diferencial te enseñarán otro método para hacer lo mismo, pero es necesario que antes de “ca-mi-nar” en cálculo aprendas a “ga-te-ar” en Geometría A-NA-LI-TI-CA (análisis, razonamiento, reflexión, etc.).

En este tema debiste haber aprendido lo siguiente: A hacer ecuaciones, a relacionarlas con la realidad y a encontrar un dato mayor, en este caso el volumen de una caja.

Pues bien, las ecuaciones sirven para eso y para muchas cosas más…

¿A poco no son divertidas las matemáticas?

Ahora obtén el mayor volumen para una caja que se forma con una hoja de 16 Cms.

Pero… ¿Y que ventajas obtienes de todo esto?

Imagina si lo hubieras hecho recortando las esquinas de varias hojas de papel de 10 Cms. sin saber hacer ecuaciones hasta que encontraras el mayor volumen ¿Cuántas hojas habrías tenido que recortar? 5, 10, 20 y ¿Cuánto tiempo hubieras ocupado ello? Sé que inventar una ecuación puede parecerte más complicado que simplemente recortar papel, pero conforme practiques verás que es más fácil de lo que creías, además recuerda que la geometría analítica entre otras cosas busca DESARROLLAR tu cerebro a otros niveles. Recortar papel puede hacerlo cualquiera, y tú no eres cualquiera. Con este método cuando realices los cálculos solamente recortarás una hoja de papel y nada más…

logowpcombinadorojorojo


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5 responses

21 07 2009
JOSE ANGEL ALVAREZ BELTRAN

HOLA ING. GUERRERO, LO SALUDO CON AGRADO,LEEI SU RESPUESTA A MI COMENTARIO,LE INVITE A QUE POR LA CERCANIA DE NUESTROS LUGARES DE RECIDENCIA ,CON GUSTO LE HARIA UNA DEMOSTRACION DE LOS BENEFICIOS DEL USO DE REFRIGERANTES ECOLOGICOS TOTALMENTE,PERO DESGRACIADAMENTE NO HE PODIDO HALLAR SU RESPUESTA,LE REITERO LA INVITACION,Y LE ENVIO UN CORDIAL SALUDO.
…………..

Hola José Ángel…
Las respuestas están en:
https://iguerrero.wordpress.com/2009/07/01/instalacion-de-un-minisplit-1-tonelada/
En realidad te está contestando el Ing. Erluin Omar, él es que hace este tipo de trabajos, solo que vive en Chetumal, Quintana Roo.
De cualquier manera ya está enterado. Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.

14 02 2009
Many

Muchas gracias desde Sonora, México.
Ando viendo estos temas, buscaba un libro pero me encontre con su pagina, muy buena por cierto, creo que me servira de ayuda ya que ademas de Matematicas Aplicadas tambien veo Electronica como Especialidad en la preparatoria.
Saludos y gracias

11 06 2008
alehanna

bueno ps la neta me ayudo muxo este sitio ia ke io soi malisima para las matematicas y usted lo hizo k se viera facil aunk si es verdad
necesito muxo repasar otros temas de factorizacion y esas cosas por k en algunas cosillas me atrase
pro bueno este sitio lo recomendare a mis amiwos
para k lo chekn ia k n verdd s bueno
sale bye
y grax
por la ayuda

1 08 2007
iguerrero

Hola Alejandro…

Los temas 10 y 23 de la sección Instalaciones Eléctricas de este Blog: tratan los dos métodos conocidos para conectar lámparas controladas por dos apagadores: Método de Puentes y de Corto Circuito. Solo tienes que dar un click en los enlaces 10 y 23 de esta respuesta o bien arriba a la derecha en: SECCIONES/CATEGORIAS: Instalaciones Eléctricas, buscarlos y ver los demás temas referentes a lo mismo.

Respecto a la difusión de mi página te lo agradezco.

Recibe saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

1 08 2007
alejandro

es una pena que no se difunda esta su pagina pero de mi parte cuente con todo mi apoyo esto es lo que debería estar lleno el mundo cyber Gracias ojala pudiera enviarme ,como hacer una conexión para un foco con dos interruptores independientes Gracias nuevamente y felicitaciones.

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