Tópicos de Cálculo Diferencial.

5 05 2009

Tema 12. Regla de los 4 Pasos y un Tropezón.

Actualización: Mayo 05 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Marzo 01 de 2008.

Nunca entenderé por qué muchos escritores de temas técnicos (en particular de matemáticas) complican tanto algunas cosas, la Regla de los 4 pasos es un método que parte de un razonamiento simple ¿Para qué enredarlo con tantos “rollos” matemáticos? Aquí te daré una interpretación –es mi forma de entender la dichosa regla- y espero no “caer” en lo mismo que cuestiono.

¿Recuerdas como se determina la pendiente de una recta…? Por si no lo recuerdas te pondré la “fórmula”: m = (y2-y1)/(x2-x1), pero… ¿De dónde salió esta expresión? Te lo explico en la figura… cortesía de la Universidad de Virginia, E.U.

maxayTienes dos puntos (p y q) cada uno con sus respectivas coordenadas ¿Cuáles? Las que quieras.

Con p y q, forma un triángulo rectángulo y nombra a sus catetos: ∆x y ∆y.

¿Y por qué ∆y y ∆x? Respuesta. Porque así lo quisieron Newton y Leibniz tratando de “apantallar” a los Pitagóricos de esa época. Pero igual puedes poner en un cateto a Caperucita Roja huyendo del lobo feroz hacia p y en el otro a Cenicienta contando los segundos antes de romperse el hechizo y también funciona.

∆x es igual a x2-x1, mientras que ∆y es igual a y2-y1. En otras palabras, siempre debe ser coordenada final menos coordenada inicial, esto, según don René Descartes.

Debes saber que: tg α = (y2-y1)/(x2-x1); e igual conoces que: tg α = m; por lo tanto:

m = (y2-y1)/(x2-x1) Pero ya sabes que: y2-y1 es igual a ∆y; y que x2-x1 es igual a ∆x, entonces:

m = ∆y/∆x

Bien, ya tienes algo “nuevo”, resulta que también la pendiente es igual a ∆y/∆x ( se lee delta o incremento).

Utiliza esta nueva expresión para obtener la pendiente (m) de una recta en el siguiente ejercicio.

Sea la ecuación: y=x+5 ¿Cuál es la pendiente de la recta que representa?

¡¡¡OBVIOOOO!!! Sin hacer ningún cálculo -ni nada que se le parezca- la pendiente es 1 (puesto que la ecuación tiene la forma y=mx+b). Entonces, si m=1 el resultado que obtendrías aplicando cualquier procedimiento sería 1, es decir, adelantándonos tendríamos que: ∆y/∆x=1, puesto que m=∆y/∆x ¿De acuerdo? Comprobémoslo.

“Juguemos” un poco con Álgebra, manipulando la ecuación y=x+5. Hagamos lo siguiente: apliquemos un incremento a la variable x y un incremento a la variable y de la siguiente manera.

El incremento que daremos a x será: ∆x. El incremento que daremos a y será: ∆y

Entonces… (y + ∆y) = (x + ∆x ) + 5

Reacomodando términos y simplificando… ∆y = x + ∆x + 5 – y

Pero: y = x+5, por lo que al sustituirlo queda…

∆y = x + ∆x + 5 – x – 5

Eliminando términos queda…

∆y = ∆x

“Pasando” ∆x del otro lado, queda…

∆y/∆x = 1

Y si ya sabemos que m=∆y/∆x entonces concluimos que: m=1

¡Ohhh! ¡La catorceava maravilla! comprobamos que existe otra manera ¡más larga!, ¡tediosa! y ¡aburrida! de llegar al mismo 1 que habíamos determinado visualmente en la ecuación: y=x+5

Pero… ¿Qué caso tiene hacer esto si con solo ver la ecuación y = x+5 se sabe que la pendiente de la recta que representa es 1?

Bueno… sucede que en la ecuación de una curva –como debes recordarlo- la pendiente no se puede conocer directamente y este procedimiento que acabamos de aplicar ¡bendito Dios! nos ayuda a obtenerla en cualquiera de sus puntos o mejor dicho en cualquier recta que tocara sus puntos.

Apliquemos el mismo procedimiento de incrementar x e y para determinar la pendiente de una recta tangente a una curva, por ejemplo de la curva: y = x2

Demos un incremento a x e y

(y + ∆y) = (x + ∆x)2

Desarrollando el binomio, reacomodando y simplificando queda…

∆y = x2 + 2x∆x + (∆x) 2 – y

∆y = x2 + 2x∆x + (∆x) 2 – x2

∆y = 2x∆x + (∆x) 2

Factoricemos…

∆y = ∆x (2x + ∆x)

Dividamos todo entre ∆x y simplifiquemos…

∆y/∆x = ∆x (2x + ∆x)/∆x

∆y/∆x = 2x + ∆x

El procedimiento anterior aplicado a una curva nos lleva a determinar la pendiente (m) pero de una recta Secante a la misma ¿Cuál Secante? La que se te pegue la gana, siempre que cumpla el requisito de tocar dos puntos de ella. Sin embargo lo que buscamos es la pendiente de una recta Tangente a la curva no de la Secante.

Sucede que Newton y Leibniz se toparon con el mismo problema y lo mejor de todo es que le encontraron solución. Hicieron un “truco” por el cual bien podrían haber recibido el premio Nobel, solo que en ese entonces no existía tal galardón, simplemente hicieron que ∆x ”tendiera” a cero, es decir al “anular” ∆x una Secante a una curva se “convierte” en una Tangente a la curva. En términos físicos lo anterior significaría recorrer uno de los dos puntos de la Secante hasta que hiciera “contacto” con el único punto que tiene la Tangente y que comparte con ella, es así como la Secante se convertiría en Tangente por obra y gracia de Newton y Leibniz. ¿Ya lo viste gráficamente? También puedes ir al siguiente enlace cortesía de la Universidad de Virginia E.U.

mcurvaDa un clic en el botón: X^2, (parte superior derecha), y también oprime los botones: secant line, tangent line y Coords. “Sujeta” el punto p oprimiendo el botón izquierdo encima de él, aléjalo y acércalo a q. Observa que el denominador ∆x tiende a hacerse más pequeño cada vez que acercas p a q, es decir tiende a CERO cuando la secante se convierte en tangente, también observa que los valores de las pendientes de la tangente y secante tienden a ser iguales en la medida en que acercas más los puntos. Puedes desactivar los botones secant line y tangent line para visualizarlo mejor.

Nota. El programa te permite además visualizar la pendiente de una recta, de la función Seno y de una función Exponencial, sólo da un clic en los botones correspondientes. Pero continuemos con la solución teórica del problema…

Hagamos que ∆x “tienda” a cero.

Aplicando límite cuando ∆x → 0, queda…

Lim (2x + ∆x) = 2x + 0 = 2x

∆x → 0

Resultan 2x ¿Cómo debemos interpretar este resultado?

Sucede que 2x es la pendiente “general” de la curva y=x2; es decir, 2x es la pendiente de todas las tangentes que pudieras colocar en la curva, en el cual solo hay que sustituir un valor de x, y obtener con ello la pendiente particular de la tangente a la curva en dicho punto… E ahí un misterio de la naturaleza desvelado.

Por ejemplo, ¿si x=3 cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva?

m=2x=2(3)=6

¿Si x=1 cuál es la pendiente de la tangente a la curva?

m=2x=2(1)=2

Y así sucesivamente…

Al procedimiento anterior se le llama REGLA DE LOS CUATRO PASOS, y es, digamos, el procedimiento básico para obtener la derivada de una función.

Hay formas más fáciles de obtener lo mismo las cuales provienen precisamente de la observación. Después de haber resuelto miles de problemas Newton, Leibniz y asociados –como no tenían nada más importante que hacer (ya sabes que en ese entonces no había internet para “chatear” con amiguit@s, ni tv, ni cine, ni radio, ni juegos de nintendo, mucho menos Wii)- inventaron fórmulas que facilitaron el cálculo de las derivadas, las cuales veremos más adelante, mientras tanto, aprende bien lo anterior resumido en lo siguiente.

Regla de los 4 pasos.

1. Asigna incrementos (∆x, ∆y) a ambas variables.
2. Reacomoda, simplifica y resta el valor de y.
3. Divide entre ∆x.
4. Aplica limite cuando ∆x → 0

Solo por practicar calcula la derivada de cada función y obtén la pendiente en x=5

Y=x3
Y=4x2
Y=6x+2
Y=x2+x+6
Y=3x2+4x+2

Para el caso de polinomios (p. ej. Y=x2+x+6) deriva cada una de sus partes.

logowpmoteado


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7 responses

5 10 2011
Julio

Hola, yo soy estudiante de preparatoria de último semestre y apenas estoy viendo estos temas,ya he entendido la regla de los 4 pasos para resolver las derivadas,pero tengo una duda y jamás puedo terminar de resolver un problema por que no se que hacer en ese paso…cuando me dan un denominador,por ejemplo

Y= 2/x^1

Ya desarrollé todo para que quedara DELTA Y=… Pero a la hora de hacer la resta me dicen que como hay un denominador tengo que multiplicarlo por su ecuacion original y hacer productos cruzados, y hacer la ley de la tortilla(la de extremos por extremos y medios por medios) esto me confunde,pues yo no soy muy bueno en las matemáticas :/ me gustaría que me pudiera aclarar esta duda.

De verdad lei toda su publicación y déjeme decirle que ha incrementado mi interés por las matemáticas pues ahora veo este tema desde otro punto de vista y no se me hace tan díficil : D

¡Muchas gracias y felicidades por tan buena explicación!

5 10 2011
colaborador.

pasaba por aki y vi tu duda. no kreo que el inge te responda kompa porque ya dijo en uno de los temas q no resuelve tareas. kompa el problema que kreo q tienes es q no dominas las matematicas anteriores cmo dice el ing. guerrero el problema esta bien facil te lo explico.

Y = 2/X^1

………..INCREMENTAS X y Y
Y+ΔY = 2/(X+ΔX)
ΔY = [2/(X+ΔX)]-Y
………..PERO Y=2/X LO SUSTITUYES EN LUGAR DE Y:
ΔY = [2/(X+ΔX)]- 2/X
………..PARA RESTAR MULTIPLIKAS KRUZADO:
ΔY = [2X-2(X+ΔX)] / [X(X+ΔX)]
………..T KEDAN:
ΔY = [2X-2X-2ΔX)] / [X(X+ΔX)]
…………ELIMINAS 2X-2X T KEDAN:
ΔY= -2ΔX / [X(X+ΔX)]
…………DIVIDES ENTRE ΔX
ΔY/ΔX = {-2ΔX / [X(X+ΔX)]} / ΔX
………….APLIKAS LEY DEL CHICHARRON:
ΔY/ΔX = -2ΔX / ΔX [X(X+ΔX)]
…………..ELIMINAS ΔX
ΔY/ΔX = -2 / [X(X+ΔX)]
……………APLIKAS LIMITE KUANDO ΔX TIENDE A 0

ΔY/ΔX = -2 / [X(X+ΔX)]
LIM ΔX TIENDE A CERO:

Y TE KEDA Q LA DERIVADA ES:

Y’ = -2 / [X(X+0)]

Y’ = -2 / X^2

estudia mate anteriores kompa sobre todo algebra.
chido pues.
……………

Hola Colaborador…
Gracias por participar.
Un saludo cordial.
Ing. I. Guerrero Z.

24 02 2010
KU

Mis respetos e igualmente admiración para usted Ing. Guerrero.

y para mi maestro consentido, hermoso y adorable, cual tengo la gran dicha de conocer, le dejo mis más grandes aprecios y de igual manera , mi admiración y respetos.

para: Ing. SAjarópulos.

25 01 2010
Guillermo Sajarópulos

Yo también soy maestro del Subsistema DGETI, estoy en el CBTis. 224, soy Ing. Químico egresado de la U. de G. ya hace varios años, actualmente cuento con 34 años de servicio en el Subsistema, Mis más sinceras felicitaciones, aún imparto clases y tus Tópicos de Cálculo Diferencial, son mis principales referencia que recomiendo en la red, además de ser claras son didácticas y no tienen errores. Gracias, además de ayudar a los alumnos nos facilitas enormemente nuestro trabajo de “maestros por vocación”, mis respetos y una gran admiración por tu trabajo. Soy “como anteriormente te digo”, un seguidor ferviente de tu trabajo, para mi es de lo más confiable y seguro.
IQ. Guillermo Sajarópulos Ramírez
Docente CBTis No. 224
Culiacán, Sinaloa.
…………..

Hola Ing. Guillermo…
Gracias por tus palabras colega.
Un abrazo.
Ing. I. Guerrero Z.

16 08 2009
Diego

Hola Ingeniero quisiera saber si las respuestas de los 3 primeros ejercicios son, respectivamente, : 3(x^2)=3(5^2)=75 , 8x=8.5=40 y 6 … y no sé si entendí bien lo de derivar los polinomios , será así :

y = x^2 + x + 6
y + ∆y = (x + ∆x)^2 + (x + ∆x) + 6
∆y = (x + ∆x)^2 + (x + ∆x) + 6 – y
∆y = x^2 + 2x.∆x + ∆x^2 + (x + ∆x) + 6 – (x^2 + x + 6)
∆y = x^2 + 2x.∆x + ∆x^2 + x + ∆x + 6 – x^2 – x – 6
∆y = 2x.∆x + ∆x^2 + ∆x
∆y / ∆x = 2x + ∆x +1

y ahora hago que ∆x tienda a cero

Lim (2x + ∆x +1) = 2x+1
∆x → 0

entonces la derivada de y = x^2 + x + 6 es : 2x +1
y cuando X=5 , la pendiente es 2(5) + 1 = 11
…………

Ok`.

9 07 2009
andres gomez

que tal ingeniero le hablo desde bogota colombia estab leyendo algunos apuntes de calculo diferencial y me gusto muchismo su forma de explicar lo felicito hace ver la matemtcia como lo que es algo muy interesante y facilde entender que con dedicacion se puede lograr .. alo que llego es mi problema mas que todo es que voy a empezar a ver calculo diferencial y no se si en los temas posteados por usted se explica todo lo referente a las relacuiones trigonometricas y todo lo referente a la trigonomentri que es uilizada en el calculo diferecial pss ese tema desde que lo vi no em quedo claro muy poco fue lo que entendi espero me pueda colaborar con eso… gracias es muy buen profesor..no solo como enseña si no que se le ve la vocacion que tiene para hacerlo.. espero alguna respuesta ami correo o por parte de este muro …
………..

Hola Andres…
Mi idea al escribir sobre el cálculo diferencial es interesar a la gente en este tópico, porque he visto que las matemáticas son hijas de la mala vida, repudiadas por todos, pero es solo eso: interesar a la gente.
Quizá más adelante retome el tema y empiece a escribir sobre más cosas de él, por el momento será solamente lo que está en la sección:
https://iguerrero.wordpress.com/category/topicos-de-calculo-d-e-i/
Te envío saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.

5 06 2009
daryo

Demos un incremento a x e y

(y + ∆y) = (x + ∆x)2

Desarrollando el binomio, reacomodando y simplificando queda…

∆y = x2 + 2x∆x + (∆x) 2 – y

∆y = x2 + 2x∆x + (∆x) 2 – x2

aqi no entendi porq
“y” se convirtio en x^2 un error de dedo o algun metodo q io desconosca? :S
………..

La función inicial es y=x^2
(y + ∆y) = (x + ∆x)^2
y + ∆y = (x + ∆x)^2
y + ∆y = (x)^2 + 2(x)(∆x) + (∆x)^2
∆y = (x)^2 + 2(x)(∆x) + (∆x)^2 – y
Pero y=x^2, entonces:
∆y = (x)^2 + 2(x)(∆x) + (∆x)^2 – x^2
∆y = x^2 + 2x∆x + (∆x)^2 – x^2
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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