Tópicos de Cálculo Diferencial.

5 05 2009

Tema 12. Regla de los 4 Pasos y un Tropezón.

Actualización: Mayo 05 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Marzo 01 de 2008.

Nunca entenderé por qué muchos escritores de temas técnicos (en particular de matemáticas) complican tanto algunas cosas, la Regla de los 4 pasos es un método que parte de un razonamiento simple ¿Para qué enredarlo con tantos “rollos” matemáticos? Aquí te daré una interpretación –es mi forma de entender la dichosa regla- y espero no “caer” en lo mismo que cuestiono.

¿Recuerdas como se determina la pendiente de una recta…? Por si no lo recuerdas te pondré la “fórmula”: m = (y2-y1)/(x2-x1), pero… ¿De dónde salió esta expresión? Te lo explico en la figura… cortesía de la Universidad de Virginia, E.U.

maxayTienes dos puntos (p y q) cada uno con sus respectivas coordenadas ¿Cuáles? Las que quieras.

Con p y q, forma un triángulo rectángulo y nombra a sus catetos: ∆x y ∆y.

¿Y por qué ∆y y ∆x? Respuesta. Porque así lo quisieron Newton y Leibniz tratando de “apantallar” a los Pitagóricos de esa época. Pero igual puedes poner en un cateto a Caperucita Roja huyendo del lobo feroz hacia p y en el otro a Cenicienta contando los segundos antes de romperse el hechizo y también funciona.

∆x es igual a x2-x1, mientras que ∆y es igual a y2-y1. En otras palabras, siempre debe ser coordenada final menos coordenada inicial, esto, según don René Descartes.

Debes saber que: tg α = (y2-y1)/(x2-x1); e igual conoces que: tg α = m; por lo tanto:

m = (y2-y1)/(x2-x1) Pero ya sabes que: y2-y1 es igual a ∆y; y que x2-x1 es igual a ∆x, entonces:

m = ∆y/∆x

Bien, ya tienes algo “nuevo”, resulta que también la pendiente es igual a ∆y/∆x ( se lee delta o incremento).

Utiliza esta nueva expresión para obtener la pendiente (m) de una recta en el siguiente ejercicio.

Sea la ecuación: y=x+5 ¿Cuál es la pendiente de la recta que representa?

¡¡¡OBVIOOOO!!! Sin hacer ningún cálculo -ni nada que se le parezca- la pendiente es 1 (puesto que la ecuación tiene la forma y=mx+b). Entonces, si m=1 el resultado que obtendrías aplicando cualquier procedimiento sería 1, es decir, adelantándonos tendríamos que: ∆y/∆x=1, puesto que m=∆y/∆x ¿De acuerdo? Comprobémoslo.

“Juguemos” un poco con Álgebra, manipulando la ecuación y=x+5. Hagamos lo siguiente: apliquemos un incremento a la variable x y un incremento a la variable y de la siguiente manera.

El incremento que daremos a x será: ∆x. El incremento que daremos a y será: ∆y

Entonces… (y + ∆y) = (x + ∆x ) + 5

Reacomodando términos y simplificando… ∆y = x + ∆x + 5 – y

Pero: y = x+5, por lo que al sustituirlo queda…

∆y = x + ∆x + 5 – x – 5

Eliminando términos queda…

∆y = ∆x

“Pasando” ∆x del otro lado, queda… Lee el resto de esta entrada »