Tópicos de Cálculo Diferencial.

12 03 2009

Tema 6. ¿Se puede hacer que una Secante sea lo mismo que una Tangente?

Actualización: Marzo 11 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Diciembre 06 de 2007.

Parte 2.

Sea la recta tangente a la curva Y=X2 que pasa por el punto P1(2,4). Hallar su pendiente (m).

semejanza-entre-tangente-y-secante3El punto que “toca” la recta Tangente es P1(2,4), y también es el mismo que tiene una Secante, sin embargo como las Secantes tocan dos puntos de una curva entonces el otro puedes “imaginarlo” con un valor para X´s ligeramente mayor al 2, por ejemplo: 2.01 También podría ser un valor ligeramente menor que el 2 por ejemplo (1.99), en cualquier caso, al final el resultado es el mismo.

Sustituyamos este nuevo valor “imaginado” 2.01 de X´s  en la ecuación de la curva, y obtendremos:

Y=(2.01)2=4.0401 ¡Ok! Ya tenemos el otro punto de la Secante que está muy cerca de la Tangente, sus coordenadas son: P2(2.01; 4.0401)

Conocidos los dos puntos de la Secante la cosa se vuelve fácil, simplemente utilizamos la “fórmula” de René Descartes para determinar la pendiente de una recta:

M=(Y2-Y1)/(X2-X1), resultando: m1=(4.0401-4)/(2.01-2)=0.0401/0.01=4.01

Podríamos decir que la pendiente de la recta Tangente es 4.01, pero, pero, pero… no hay que olvidar que esta es la pendiente de la SECANTE no de la Tangente. Sin embargo podemos hacer lo siguiente.

Ubiquemos otro punto (P3) de otra Secante todavía más cercana a la Tangente (P1) y veamos que pasa. Hagamos X=2.0001, sustituyamos este nuevo valor de X en la ecuación de la curva y obtengamos Y.

Entonces quedaría: Y=(2.0001)2=4.00040001

Por lo tanto, otro punto de la curva Y=X2 cercano al punto P1(2,4) es P3(2.0001; 4.00040001)

Sustituyendo en la fórmula de la pendiente queda:

m2=(4.00040001-4)/(2.0001-2)=0.00040001/0.0001=4.0001

Podríamos decir que ésta pendiente es prácticamente la de la recta Tangente, sin embargo hagamos un tercer cálculo con otro valor de X todavía más cercano a 2 que los otros dos valores. Hagamos que X tenga un valor 2.000001, sustituyamos y obtengamos Y…

Y=(2.000001)2=4.000004, entonces el punto es: P4(2.000001; 4.000004)

Ahora determinemos la nueva pendiente.

m3=(4.000004-4)/(2.000001-2)=0.000004/0.000001=4

Mi calculadora arroja un 4 exacto, no sé la tuya. Si no te apareció un 4 te mostrará un valor muy cercano a él.

Observa los tres resultados para la pendiente, compáralos y saca tus propias conclusiones.

m1=4.01
m2=4.0001
m3=4

Tienes dos rectas sobre la curva Y=X2, una de ellas es Tangente y otra es Secante. La Tangente toca el punto de la curva P1(2,4). La Secante toca los puntos: P1(2,4) y P4(2.000001; 4.000004).

¿Qué pasa cuando acercas el punto extremo de la Secante al punto compartido por la Tangente y la Secante?

Respuesta. El valor de la Pendiente (m) se acerca más al 4 hasta que llega a él. Dicho de otra manera, el valor de la pendiente tiende a 4. Otra forma de decirlo: la diferencia entre la primera pendiente y la última tiende a ser cero. ¿La “diferencia”? ¿Sabes por qué al cálculo se le llama DIFERENCIAL? Precisamente por las pequeñas diferencias entre uno y otro resultado que al final tienden a cero.

En conclusión la pendiente de la tangente es 4.

La diferencia entre los tres valores de la pendiente es la aproximación al cero que encontraron Newton y Leibniz. Desde luego que si tuvieras una súper-calculadora te habría arrojado más decimales en el tercer cálculo que hicimos, pero igual llegarías al 4 acercando más y más el punto de la Secante. Pero vayamos más allá. ¿De que otra manera más fácil y exacta se puede determinar la pendiente de la recta tangente a la curva Y=X2 en el punto P1(2,4)?

¿Recuerdas lo que vimos en el Tema 2 de los Tópicos de Cálculo Diferencial? Acuérdate que mediante un simple procedimiento se puede derivar una función.

Si la ecuación es Y=X2 simplemente el exponente lo multiplicas por el coeficiente de X y le restas 1 al exponente. O sea:

Y´=(2)(1)X2-1=2X1=2X, por lo tanto la derivada de Y=X2 es 2X

Ahora sustituye el valor de la coordenada X del punto P1, o sea 2 en la derivada ¿cuanto obtienes? 2X=2(2)=4

Es el mismo 4 que habíamos obtenido por prueba y error con el método anterior.

Ves que fácil es por este camino… No tuvimos que medir nada, tampoco recurrimos a los métodos de Euclides, no tuvimos que molestar a nadie diciéndole, ¡Oye préstame tu regla por favor! Todo el cálculo lo hicimos en la libreta.

Pero… ¿eso es todo?

Bueno, adicionalmente podríamos determinar la ecuación de la recta tangente a la curva, utilizando la ecuación ordinaria de Descartes: y-y1=m(x-x1)

Sustituyamos las coordenadas del punto P1(2, 4) y la pendiente obtenida M=4 y obtenemos:

y-4=4(x-2); y=4x-8+4; y=4x-4

Por lo tanto la ecuación ordinaria de la tangente a la curva Y=X2 en el punto P1(2, 4) es: y=4x-4; o bien expresada en su forma general:

-4X+Y+4=0

OKKKKK´ Tema concluido.

logowpnegroverde


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One response

6 05 2009
anab1231

Ingeniero le agradezco la información obtenida de cálculo ya que llevaba muchas horas buscandola y porfin la encontré, y lo felicito por su buena explicación a este ejerciocio que no es para mi sino para mi hijo que está en el cbtis 133, …. gracias.
atte: Ana bejarano Ruiz , la mamá de Eder.

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