Tópicos de Cálculo Diferencial.

9 03 2009

Tema 6. ¿Se puede hacer que una Secante sea lo mismo que una Tangente?

Actualización: Marzo 08 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Diciembre 04 de 2007.

Parte 1.

Bueno… si están lo suficientemente cerca una a la otra, son casi-casi lo mismo. Existe una pequeñísima diferencia, es algo prácticamente insignificante, es como si te dijeran “te voy a regalar un pedazo de pastel un millón de veces más pequeño que la punta de una aguja” ¿qué dirías? Es casi-casi nada. Pero veámoslo más detenidamente.

sectangUna SECANTE es una recta que toca dos puntos de una curva, mientras que una TANGENTE es una recta que toca un punto –y solo uno-.

Observa la animación mostrada y concluye si se puede o no hacer que una secante se convierta por obra y gracia de Newton y Leibniz en una tangente.

La Secante se mueve siguiendo la curva mostrada, mientras que la Tangente se mantiene quieta.

¿Entonces?… ¿Se puede o no hacer que una secante sea lo mismo que una tangente?

La verdad es que podríamos acercarlas tanto que sería muy difícil diferenciarlas.

Sin embargo las dos rectas están perfectamente definidas y cada una conserva su nombre y su esencia, pero estarían tan “pegadas” -o tan encima- una a la otra que por mucho que las observaras con unos súper-binoculares en compañía del mismísimo Superman (con su súper-vista), ninguno podría diferenciarlas.

Recuerdas que en el tema anterior comenté del casi-casi cero, pues bien aquí tienes una situación en la que entra en juego la aproximación a cero. Te lo explicaré de la siguiente manera.

Un problema

Supón que quisieras encontrar la pendiente (m) de una recta tangente a una curva con solo saber las coordenadas de su punto de “contacto” ¿Se puede?

Solución 1. Podrías utilizar regla, compás y transportador y hacerlo físicamente, dibujado la curva, colocando su recta tangente, midiendo su ángulo y aplicando la función tangente.

Pero… ¿Es exacto el método anterior? Un ¡¡NOOOO!! rotundo. Todos los métodos físicos para determinar la medida de cualquier cosa son INEXACTOS siempre el resultado es APROXIMADO, por esta razón existe el denominado PRINCIPIO de INCERTIDUMBRE de un tal HEISEMBERG que decía que al medir cualquier cosa por el simple hecho de medirla ya inducía a error. El señor tenía razón, por ejemplo al introducir un termómetro en un recipiente con agua para medir su temperatura, por haberlo introducido ya cambió su temperatura -aunque sea un poco- por lo tanto ya se indujo error en la medida. Así que…

Solución 2. El problema se resuelve fácil si conoces dos puntos de la recta tangente, aplicando una de las “fórmulas” de René Descartes m=(y2-y1)/(x2-x1) y el resultado es EXACTO, solo que… ¡un momento!, una mosca ha caído en la sopa, ¡una gigantesca y asquerosa mosca! resulta que una recta tangente toca SOLO UN PUNTO de la curva –y solo uno- y para saber su pendiente requerimos conocer las coordenadas de dos de los puntos que la forman ¿Entonces que hacemos? ¿Regresamos a la primera solución que equivaldría a utilizar los métodos de Euclides de hace más de 2000 años?

Para tu buena fortuna estimado/a lector/a, Newton y Leibniz inventaron un procedimiento para resolver este problema. Podría reproducirlo aquí pero a estas alturas después de cuatrocientos años que lo hicieron hay otras formas de llegar a lo mismo mediante procedimientos más fáciles de comprender.

Recuerdo la primera vez que estudié el método de Newton-Leibniz –hace ya muchos años- no lo entendí. Tuvieron que pasar algunos años más hasta que por necesidad tuve que aprenderlo y es exactamente lo mismo que les explicaba a mis alumnos, pero con los años uno empieza a entender mejor las cosas y también a aplicar sus propios métodos, así que te lo voy a explicar a mi manera. Regresemos al problema.

¿Cómo determinar la pendiente de la tangente conocido solo un punto de ella? Simple… Si necesitas dos puntos para determinar cualquier pendiente de cualquier recta, entonces busca otro punto cercano al punto de la tangente de tal manera que la diferencia de los lugares que ocupan ambos puntos sea casi-casi cero. Lógicamente dicho punto debe también formar parte de la curva.

Veámoslo con un ejemplo…

Continuaré en próxima ocasión.

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