Tópicos de Cálculo Diferencial.

Tema 1a. ¿Qué es el Cálculo Diferencial?, ¿Para qué sirve?, ¿Con qué se come?, etc, etc.

Actualización: Febrero 18 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Noviembre 06 de 2007.

Después de algunas peticiones, casi-casi exigencias de quienes leen tópicos de matemáticas, voy a escribir acerca del Cálculo Diferencial, pero antes de hacerlo aclararé algunas cosas para que no haya malos entendidos después.

1. Mi intención en este espacio es proporcionar solo las bases -y nada más- para el estudio del cálculo diferencial. Si no lo entiendes, si no sabes a que se refiere, éste puede ser un buen lugar para ti.

2. La información y las demostraciones que verás aquí son las estrictamente necesarias, no esperes un panel de discuciones o una enciclopedia sobre el método, la forma, los resultados, etc. del cálculo diferencial. Así que, no me pidas que te demuestre por el método de “fulanito” una fórmula, que haga la tarea por ti, que busque alguna información, etc. etc.

3. Lo que leerás en estos tópicos será mi forma de interpretar al cálculo diferencial o dicho de otra manera, es la forma en la que creo poder ayudarte a entender el tema, lo demás corre por tu cuenta.

4. Si ves un error en lo que escribí por favor avísame, te lo agradeceré.

5. Segmentaré los temas largos, y prometo hacerlos lo más amenos posibles.

Dicho lo anterior, iniciaré con una pregunta fundamental, la primera y la más importante…

¿Qué demonios es el Cálculo Diferencial? Unos le llaman así, otros le dicen cálculo infinitesimal, bah! al final de cuentas se refiere a lo mismo.

Respuesta. El Cálculo Diferencial es un método, es un camino para encontrar o llegar más pronto a un resultado en algunos problemas. Resulta que con el cálculo diferencial puedes encontrar rápidamente la pendiente (m) que incluye una ecuación independientemente de lo que ésta represente.

¡¡¡Ohhh!!! ¡Qué maravilla! Exclamará algún sabio estudiante instruido en las matemáticas previas, ¡el cálculo diferencial me permitirá determinar la pendiente en la ecuación de una recta cuando puedo hacerlo por simple inspección! ¡Síiii!. Por ejemplo en la ecuación y=3x-1, la pendiente es 3; en la ecuación y=-2x+5, la pendiente es -2, etc, etc. Entonces ¿de que apuro me saca el dichoso cálculo diferencial? si con solo ver la ecuación puedo saber cual es la pendiente de la recta que representa…

Efectivamente, en las ecuaciones que representan RECTAS (primer grado) la pendiente puede determinarse a simple vista, claro, dependiendo de como esté acomodada la ecuación, pero ¿en una curva también sucede lo mismo? ¿por simple inspección de la ecuación de una curva puedes saber cual es su pendiente?

Hmmmm… E ahí el problema (o los problemas)…

En primer lugar la pendiente de cualquier superficie está relacionada con una recta, y las curvas no son rectas obviamente. Pero… ¿Y si hubiera una forma de colocar una recta que -más o menos- se «acomodara» a la curva y de la recta se determinara su pendiente asumiendo que esta sería la pendiente aproximada de la curva sobre la que está sobrepuesta. Lo anterior podría ser, aunque para ello no sería necesario el cálculo diferencial puesto que el procedimiento para determinar la pendiente de una recta lo inventó René Descartes con su Geometría Analítica antes de inventarse el cálculo diferencial, para lo cual bastaría conocer dos de sus puntos ¿Entonces?

El problema anterior lo tuvieron los matemáticos de hace cientos de años y algunos optaron por decir, «¡total!, encimamos una recta a la curva y la pendiente que tenga la recta será aproximadamente la misma que la de la curva». Solución simple, que funcionó por un tiempo pero el asunto quedó en el aire.

Hubo quienes (por lo menos dos personajes) se pusieron a estudiar más detenidamente el problema y dijeron: ¿Y si sobre una curva colocáramos una recta que tocara un punto -y solo uno- de la misma, y de esa recta se determinara su pendiente?

Bueno… así SI. Una recta que toca un punto de una curva -y solo uno- se llama Tangente, por lo tanto diremos que una curva también tiene pendiente, sí, la pendiente que tiene la recta que toca un punto de ella, o sea, la pendiente de su recta tangente a ese punto. Pero ¡Oh problema! ¡Una mosca cayó a la sopa! Con un solo punto no se puede determinar la pendiente de una recta. ¿Entonces?… Lo estudiaron, lo estudiaron, lo estudiaron, e inventaron lo que ahora conocemos como cálculo Diferencial, y resolvieron el dichoso problema.

¿Y esto para que sirve? ¿Para que diablos sirve conocer que la recta tangente a una curva igual que cualquier recta tiene pendiente?

De entrada conoces ahora que una curva también “tiene pendiente”, luego, puedes determinar su valor en un punto específico al calcular la pendiente de la recta que toca ese punto, y aquí viene lo bueno… ¡si puedes encontrar la pendiente de una curva en cualquiera de sus puntos entonces puedes hallarla en su punto más alto o más bajo!

¡¡¡Ohhhh!!! Nuevamente exclamará alguien, y dirá: pero esto puedo hacerlo incluso hasta con la geometría tradicional de Euclides, que la inventó hace más de 2000 años… además la pendiente de una curva en su punto más alto o más bajo es igual a cero, esto, porque la recta tangente es paralela al eje X en ese o esos puntos, dicho de otra manera es horizontal y todos sabemos que una superficie así no tiene inclinación y por lo tanto su pendiente es cero, pero… ¿en que valor de X sucede?

Efectivamente también puede hacerse con procedimientos utilizados desde antes de Jesucristo, aunque el problema es la rapidez y la exactitud con que se hace. Con los métodos de Euclides podrías determinar solo con aproximación la pendiente de la recta tangente a una curva y además el procedimiento sería muy largo puesto que tendrías que realizar muchas, muchas, mediciones con tu escuadra, compás y tu transportador, hasta que tuvieras certeza –bueno… a lo mejor le “atinas” a la primera, cosa que las matemáticas tratan de evitar, que los resultados sean producto de la suerte-, mientras que con el cálculo diferencial puedes hacerlo con rapidez y EXACTITUD. Además habrá problemas en los que definitivamente no podrás hacerlo con la Geometría de Euclides llamada antigua, mientras que con este método llamado moderno, si puede hacerse.

Euclides por ejemplo, no podría entender la división por cero, imagina que hubieses sido su alumno y un buen día le hubieses preguntado…

Querido maestro Euclides con toda su sabiduría -que fue mucha sin duda- por favor dígame: ¿Cuanto es dos entre cero?

¿Que crees que te habría contestado el gran Euclides?

Continuaré el tema en próxima ocasión…