Tópicos de Cálculo Diferencial.

9 02 2009

Tema 4. ¿Qué es una Función?

Actualización: Febrero 09 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Noviembre 24 de 2007.

¿Acaso me refiero a una función de cine o de algún otro tipo de espectáculo?

Nada, nada… en Cálculo Diferencial el término “función” se refiere a la “dependencia” de una variable respecto de otra.

funcion¡Hmm! pero, ¿Qué es una variable? y ¿Qué significa “dependencia”?

Simple. Una variable es una letra que puede tener cualquier valor. Por ejemplo en la ecuación: Y=2X+5; X e Y se llaman variables. X se denomina variable INDEPENDIENTE, esto es, porque puedes asignarle cualquier valor (el que se te pegue la gana), en cambio Y se llama variable DEPENDIENTE, porque depende de los valores que asignes a la X.

¿Te quedó claro o te lo explico con manzanitas…? Ok´. Va con manzanitas.

Por ejemplo para la ecuación Y=2X+5: si X vale 1, sustituyendo este valor en la ecuación queda: Y=2(1)+5=2+5; Y = 7. Y “dependió” del valor que le asignaste a X.

Ahí tienes la relación de “dependencia” y además puedes deducir de lo anterior lo que es una variable independiente y su diferencia con la otra.

En la ecuación Y=2X+5, el 2 y el 5 se denominan CONSTANTES. Por supuesto que los nombres: coeficiente (para el 2) y término independiente (para el 5) que utilizaste en matemáticas previas, siguen vigentes, solo que alguien tuvo la feliz idea de llamarles de otra manera y por esa graciosa ocurrencia tienes que aprenderte este nuevo nombre. Si quieres maldecir a quien lo hizo puedes hacerlo en este momento… ¿Ya?, Ok´. Continuemos entonces…

Pues bien, resulta que la Y, además de llamarse variable dependiente, también se llama FUNCIÓN y se escribe f(x). Otra feliz ocurrencia y otra relajante maldición…

Aprende pues que la Y es lo mismo que f(x). Cuando alguien te diga “la variable dependiente” es igual que si te dijera “la función de X”.

Concluyendo: Y=f(x)

Puesto que Y=f(x) entonces para f(x) puedes hacer lo mismo que hacías para Y cuando tus profesores te suplicaban de rodillas en el curso previo de Geometría Analítica que graficaras una ecuación, ¿Qué hacías entonces? simplemente le asignabas valores a la X y obtenías valores para Y. Ahora es exactamente igual, dale cualquier valor a la X y obtén el correspondiente a f(x).

Veámoslo con un ejemplo.

Utilizando la ecuación anterior: Y=2X+5

Si X vale 2, entonces: Y=(2*2)+5, por lo tanto Y vale 9 ¿de acuerdo?

Igual diremos que: Si X vale 2, entonces: f(x) vale 9, ¡Ves que fácil es!

También podríamos escribirlo de la siguiente manera: f(2)=9, observa que solo sustituí en la X el valor que le asigné.

Pero ¿Qué ventaja tienes al utilizar f(x) en lugar de Y, si al final de cuentas son la misma cosa? Respuesta. Conste que ni a mí me gusta, pero es necesario hacerlo por los temas que verás más adelante, aunque a decir verdad bien puede hacerse lo mismo solo con la Y, pero, bueno… la costumbre que tienen algunos de enredar las cosas ¡ni hablar! Continuemos…

Calculemos diferentes valores de f(x) para la ecuación: Y=X3+1 por ejemplo: f(2), f(0), f(a+b).

f(2)=(2)3+1=8+1=9
f(0)=(0)3+1=1
f(a+b)=(a+b)3+1=a3+3a2b+3ab2+b3+1

¡¡¡Fin del tema!!!

Solamente por practicar realiza los siguientes ejercicios utilizando la notación f(x).

Para la ecuación Y=3X2-2; obtén: f(1); f(-2); f(4); f(0); f(3)+f(2); f(-1)*f(-4); f(a+b).

Soluciones:

f(1)=1;
f(-2)=10;
f(4)=46;
f(0)=-2;
f(3)+f(2)=35;
f(-1)*f(-4)=46
f(a+b)=3a2+6ab+3b2-2

logowpcombinadorojorojo


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One response

22 10 2008
maria

Por favor continua hablando de máximos y minimos y los criterios de la primera, segunda y tercera derivada.
¿que hacer cuando estos crterios fallan?
…….

Hola María…
¿Ya leiste todos los topicos al respecto? Por si acaso te dejo el enlace: https://iguerrero.wordpress.com/category/topicos-de-calculo-d-e-i/
En la medida de mi tiempo continuaré con los temas.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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