Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 7. Despejar una variable, literal, o lo que sea.

“A ver jóvenes vamos a <<despendejar>> X de esta ecuación”. ¡Ja!, perdón por escribirlo, se lee y se escucha ± fuerte pero así nos decía un profesor de matemáticas. Nunca supe si con esta pseudo-altisonante palabra el maestro hacía alusión al grupo, o sencillamente se le pegaba la gana decir así para referirse a los despejes comunes. Lo que si supe es que en ecuaciones «voluminosas» todos teníamos problemas para “despendejar” lo que hubiera que despejar.

Pues bien… el problema sigue. Actualmente veo que mis alumnos sudan frío cuando ven una ecuación con más de tres letras de la cual se requiere despejar cualquiera de ellas, ¿por qué? si es tan simple hacerlo. No lo sé, quizá no le han tomado el «sabor» a las matemáticas.

Identificado el problema y sin mayores preámbulos iniciemos con la solución del mismo.

Te lo explicaré con palabras sencillas, nada de “rollos” ni enredos matemáticos, es como lo entiendo y me parece que igual puedes entenderlo fácilmente.

Despejar quiere decir ‘dejar sola una letra’. Por ejemplo si tienes la ecuación AM=BC/D y quieres despejar C, significaría dejarla sola de un lado del signo igual. ¿De cuál lado? Del que se te pegue la gana: 2+3=5 como: 5=2+3

Pero en fin… tenemos que revisar varias cosas antes de continuar.

Primero: ¿Qué es una ecuación? Una ecuación es una IGUALDAD. 2+1=3 es una ecuación aritmética. A+B=C es una ecuación algebraica.

Segundo: ¿Cómo está compuesta una ecuación? Está compuesta por dos partes y se llaman miembros, separados por un signo igual.

Tercero: ¿Qué es una variable? Es una letra que representa cualquier valor. Por ejemplo X. Si le dices a alguien «iban volando X palomas» quiere decir que tal vez volaban 5, 10, 12, o más palomas.

Cuarto: ¿Cuántas variables puede contener una ecuación? Desde una, hasta infinitas… y más allá.

Dos condiciones tienen que cumplirse SIEMPRE que quieras despejar algo…

1. Se trasladan de un miembro al otro de la ecuación solo aquellas literales (o grupo de ellas) que estén realizando una operación y solo una. Cuidado con esto, pues es la clave de todo este endemoniado asunto.

2. Siempre que se traslada una literal (o grupo de literales) de un miembro al otro de la ecuación, pasarán efectuando la operación contraria.

Operaciones contrarias:

Suma ↔ Resta.
Multiplicación ↔ División.
Raíz cuadrada ↔ Exponente al cuadrado.
Raíz cúbica ↔ Exponente al cubo.
Seno ↔ Seno^-1 o bien: 1/Seno.
Coseno ↔ Coseno^-1 o bien: 1/Coseno.
Tangente ↔ Tangente^-1 o bien: 1/Tangente.

De derecha a izquierda funciona igual.

Resolvamos un caso.

Sea la ecuación: AM = BC/D; despejar C.

Para despejar C (o sea dejarla sola) ¿Cuál letra pasaremos primero al lado izquierdo, la B o la D?

Analicemos…

La B está realizando dos operaciones: está multiplicando a la C y está dividida entre D. Por lo tanto rompe la primera condición así que la descartamos.

La D está realizando una operación: está dividiendo al resultado de B por C, por lo tanto esta es la letra que debemos pasar primero al lado izquierdo.

¿Qué operación está haciendo la D? Dividiendo. ¿Entonces cómo pasará del otro lado? Efectuando la operación contraria, o sea multiplicando. ¿Y a quién multiplicará? Multiplicará a TODO lo que este del lado izquierdo.

Entonces quedaría:

AMD = BC

Continuemos… ¿cuántas operaciones está realizando la B? Solo una, multiplicar a C. ¿Y qué operación efectuará del lado izquierdo? Dividir a todo lo que esté del lado izquierdo.

Entonces quedaría:

AMD/B = C

¿Complicado?

Obviamente AMD/B = C; es igual que si escribieras: C = AMD/B.

Compliquémoslo un poco más…

Sea la expresión PQ√R = WX/Z; Despejar R.

Si vamos a despejar R “sobran” entonces PQ, mismas que pasaremos del lado derecho del signo igual.

Pregúntate ¿Qué operación realizan P y Q con R? Obvio la están multiplicando. Entonces ¿Cómo pasarán al lado derecho? Pasarán dividiendo a todo lo que esté del lado derecho. Hagámoslo.

PQ√R = WX/Z

√R = WX/PQZ

¿Y cómo quitamos la raíz cuadrada que está afectando a R? Simplemente la pasamos al lado derecho como exponente de todo lo que esté ahí.

R = (WX/PQZ)²

Compliquémoslo todavía más.

Sea la expresión: (A+B)(R+QD)+PM = W√X+ZY

Despejar Q, X y B.

Primer caso, despejar Q.

Podemos mover (A+B) o PM al lado derecho ¿cuál par escogerías?

(A+B) está realizando dos operaciones, está multiplicando a (R+QD) y está sumando a PM, por lo tanto la descartamos.

PM está realizando una sola operación, está sumando al resultado de (A+B)(R+QD) así que elegimos este par. Observa que puedes mover una o más literales al mismo tiempo.

Si PM está sumando a una parte de la expresión ¿cómo pasará del otro lado? Obvio pasará restando a todo lo que esté del lado derecho.

(A+B)(R+QD) = (W√X+ZY) – PM

(A+B) queda realizando una sola operación, está multiplicando a (R+QD) por lo tanto pasará dividendo a todo lo que esté del lado derecho.

(R+QD) = [(W√X+ZY) – PM]/(A+B) o bien: R+QD = [(W√X+ZY) – PM]/(A+B)

Ahora trasladamos a R del lado derecho, pasará restando.

QD = ([(W√X+ZY) – PM]/(A+B)) – R

Finalmente trasladamos a Q, la cual pasará dividiendo a todo.

D = {([(W√X+ZY) – PM]/(A+B)) – R}/Q

Volvamos a la expresión original y ahora despejemos X.

(A+B)(R+QD)+PM = W√X+ZY

Pasamos del lado izquierdo ZY juntas ya que están sumándose a W√X

(A+B)(R+QD)+PM-ZY = W√X

Pasamos W del lado izquierdo dividiendo debido a que está multiplicando a √X

[(A+B)(R+QD)+PM-ZY]/W = √X

Pasamos la raíz cuadrada como exponente.

{[(A+B)(R+QD)+PM-ZY]/W}² = X o bien: X = {[(A+B)(R+QD)+PM-ZY]/W}²

Ahora solo queda despejar B, pero eso lo harás tú.

B =