Tópicos de Cálculo Diferencial.

18 06 2008

Tema 22. Problemas de Máximos y Mínimos.

9. El cohete que NO subió “derecho”.

Pues sí, seguramente Newton y Leibniz de haber conocido los cohetes se habrían preguntado ¿Y si no siguen una trayectoria rectilínea? ¿Cómo determinar su velocidad? Su respuesta tendría que ser similar a la siguiente.

CoheteSupongamos la trayectoria marcada por la línea curva de la figura. El cohete explotó a los 4 Segundos a una altura de 32 Metros. Supongamos también otros tres puntos perfectamente ubicados por alguien que se las ingenió para saberlo.

P1(1, 2); (Segundos, Metros)
P2(2, 8 )
P3(3, 18 )
P4(4, 32)

En primer lugar ¿qué tipo de curva es ésta? Bueno… es similar a una Parábola (o media-parábola porque es solo la mitad) y para saber cual es su ecuación particular es necesario utilizar los servicios de don René Descartes quien inventó una “fórmula” denominada: “Ecuación Ordinaria de la Parábola”: X2=4pY

Para poder utilizar la ecuación anterior necesitamos conocer p que es el valor de la distancia que hay del vértice de la parábola (coordenadas 0, 0), hasta su punto focal. La forma más simple de hacerlo es sustituyendo cualquiera de los 4 puntos conocidos en dicha ecuación y despejarla. Hagámoslo, sustituyamos las coordenadas de P1 en la ecuación.

X2=4pY, sustituyendo X=1 e Y=2

12=4p(2)
1=8p
p=1/8

Ahora si, con este valor podemos “armar” la ecuación de la trayectoria del cohete, simplemente sustituyámoslo en la “formula” de Descartes.

X2=4(1/8)Y
X2=(4/8)Y=(1/2)Y, o bien,
X2=Y/2, también,
Y=2X2

Derivando esta última expresión…

Y´= 4X

Siguiendo el criterio expuesto en el ejercicio anterior, entonces 4X representa la pendiente “general” de la curva Y=2X2

Ahora bien, si quisiéramos determinar la pendiente de la curva cuando X vale un segundo simplemente sustituimos este valor en Y´=4X, quedando…

Y´= 4(1) = 4
En X =2; Y´=4(2) = 8
En X =3; Y´=4(3) = 12
En X =4; Y´=4(4) = 16

He aquí una conclusión interesante. Sabemos ya que la derivada representa la pendiente “general” de la curva, y sabemos que igual para el caso de las trayectorias que siguen los objetos representa su velocidad, entonces…

En X =1; la velocidad es igual a 4 Metros/Segundo.
En X =2; la velocidad es igual a 8 M/S.
En X =3; la velocidad es igual a 12 M/S.
En X =4; la velocidad es igual a 16 M/S.

Hasta donde se, esta velocidad denominada INSTANTÁNEA, -la otra que conociste en física elemental (V=d/t) se llama velocidad simple, promedio o media de un objeto-, no puede determinarse de otra manera, quizá pueda hacerse por aproximación con escuadra y compás, pero EXACTA solo existe esta forma.

Bien… ahora si, ya es tiempo de ir a tomar nuestro refresco, café o lo que sea. Hemos descubierto varias cosas y quizá no haya más que descubrir…

Un momento… ¡Caray! ¡no puede ser! hubo alguien que notó algo en la serie de resultados anteriores… ¿acaso tú lo ves?

Continuaremos en el próximo ejercicio.

logowpcombinadorojorojo


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