Tópicos de Cálculo Diferencial.

12 06 2008

Tema 22. Problemas de Máximos y Mínimos.

8. El cohete que subió “derecho”.

Tuxpan Jalisco, México, es un pueblo lleno de tradiciones, aquí se celebra a todos los Santos conocidos, reconocidos, desconocidos y hasta los que todavía no lo son ya tienen reservado su día de fiesta, esta es una de las razones por las que se le conoce como: “el pueblo de la fiesta eterna”.

CohetesEn la mayoría de los festejos hay cohetes, no me refiero a los “cuetes” (borracheras) que también suele haber, tampoco a los cohetes de la NASA, me refiero a los juegos pirotécnicos.

Los cohetes se elevan siguiendo distintas trayectorias, muchas veces curvas y alguna vez rectas. Hay casos en donde no sucede así, simplemente no suben y adiós dedos de la mano del cohetero, si, porque la costumbre -muy mala por cierto- es sujetar el cartucho con la mano y esperar rogando a Dios que la pólvora haga un efecto de reacción empujándolo hacia arriba estabilizado por una delgada vara de madera unida a él, pero cuando esto no sucede… En fin esa es otra historia

Pues bien… érase una vez un cohete que subió derecho. Se elevó a una altura de 60 Mts en un tiempo de 4 Seg, siguiendo todo el tiempo una trayectoria rectilínea. Después que llegó a tal altura hizo “pummmm” y terminó su vida. Fin de la historia.

Cohete Tuxpanense¿Cuál es la pendiente de la trayectoria rectilínea seguida por el cohete?

Bueno… si el cohete formó una recta al subir (no necesariamente vertical) tendríamos que conocer además del momento y la altura final otro par de valores correspondientes uno a la altura y otro al tiempo. Supongamos entonces que conocemos no solo dos, sino cuatro pares de valores (descartando al 0,0) tal como se muestra en la figura…

Cada par de valores son las coordenadas de un punto, entonces…

P1(1, 15) (Segundos, Metros.)
P2(2, 30)
P3(3, 45)
P4(4, 60)

Según don René Descartes y su Geometría Analítica (este fue el ¡canalla! que lo descubrió, ¡caray!, tan felices que seriamos cazando y recolectando frutos todavía, sin las dichosas matemáticas), dijo el hombre: para determinar la pendiente de una recta se requieren las coordenadas de dos de sus puntos. Por lo tanto… si utilizamos P1 y P2 quedaría…

m= (Y2-Y1)/(X2-X1) = (30-15)/(2-1) = 15/1 = 15

Conclusión, la pendiente es igual a 15.

Bien, hasta aquí, cerremos este endemoniado asunto y vayamos a la tienda de la esquina a bebernos un refresco con nuestr@s amig@s. Siiii… así sucedería si no fuera porque alguien -no sé quién demonios, observó lo siguiente.

LA PENDIENTE ES IGUAL A LA VELOCIDAD DEL OBJETO.

¡Maldición! esta sencilla observación trajo consecuencias fatales para muchos buenos estudiantes, nobles, sanos, inteligentes y bien intencionados –unos angelitos pues- siendo causa de que reprueben en las escuelas por no entenderlo, así me sucedió.

A estas alturas de tu educación debes saber que la velocidad simple, media o promedio de un objeto es igual a la distancia entre el tiempo. Expresado matemáticamente sería:

V=d/t

Aplicando esta fórmula para cada par de valores…

V = d/t = 15/1 = 30/2 = 45/3 = 60/4 = 15 Mts./Seg.

Con esto comprobamos que efectivamente la pendiente m=15 es igual a la Veloc.=15

Bueno… maravillosa conclusión, ya sabemos entonces que en movimientos de objetos la pendiente es igual a la velocidad. Fin del asunto… ahora si vayámonos a beber nuestro refresco y a disfrutar de la vida…

Pero, ¡caray! no puede ser… hubo otro –quizá el desalmado de Newton o el ignorado de Leibniz- quien observó que al construir la ecuación de la recta que se forma con la trayectoria de un objeto, la derivada también es igual a 15.

Veámoslo.

Para obtener la ecuación de la recta necesitamos conocer un punto y la pendiente de la misma, entonces… utilizando: P1(1, 15) y la pendiente que ya conocemos (gracias a R. Descartes) m=15, sustituyendo valores en la ecuación ordinaria de la recta: Y-Y1=m(X-X1) quedaría…

Y-Y1=m(X-X1)

Y-15 = 15 (X-1)
Y = 15X-15+15
Y = 15X; Derivando…
Y´= 15

¿¡Qué tal!? En conclusión…

La velocidad simple de un objeto es igual a la distancia entre el tiempo, pero también es igual a la pendiente de la recta que se forma con su trayectoria y ¡¡Uff!! también es igual a la primera derivada de la función.

Bien, hasta aquí todo está perfecto, entonces ahora si concluyamos con este asunto y vayámonos por finnnnnnn a beber nuestro refresco, café o lo que sea…

Perooooo, no puede ser… hubo otro canalla que se preguntó lo siguiente ¿Y qué tal si la trayectoria del objeto no sigue una recta? Una de dos: o fue Newton o Leibniz, así que ya sabes a quien odiar si no te gustan las matemáticas…

Continuaremos dilucidando esta tremebunda cuestión en el siguiente ejercicio.

logowpnegronaranja


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