Tópicos de Cálculo Diferencial.

29 05 2008

Tema 22. Problemas de Máximos y Mínimos.

5. En búsqueda de una lata ideal (solución 2).

¿Y si hubieras considerado que X fuera el diámetro de la lata en lugar del radio? Es obvio que tendría que resultar exactamente lo mismo que el problema anterior. Hagámoslo…

La Lata IdealVol. =355 Ml. =355 Cm3 pero también…

Vol. = (Área)(altura) =

[(Π)(Diám.2)/4](Y) =

[(Π)(X2)/4](Y) =355 Cm3 Despejando Y queda…

Y = (355)(4)/ΠX2 = 1420/ΠX2

Por otra parte, el perímetro total de la lámina sería de:

Per.T= ΠX+ΠX+Y+Y = 2ΠX+2Y

Sustituyendo Y en esta última ecuación…

Per.T = 2ΠX+2Y = 2ΠX+(2)(1420)/ΠX2 =

2ΠX+(2840/ΠX2) Derivando…

Per.T´ = 2Π+(2840)(-2)/ΠX3) = 2Π-(5680/ΠX3) Igualando a cero…

2Π-(5680/ΠX3) = 0 Despejando X

X = 3√(5680/2Π2) = 3√(287.75) = 6.6 Cms.

Por lo tanto el ancho de lata es de 6.6, igual que el problema anterior. ¿Y la altura?

Sustituimos el valor de X en la expresión: Y = 1420/ΠX2 entonces queda:

Y = 1420/(Π(6.6)2) = 10.37 Cms.

En conclusión la lata mide 6.6 Cms de ancho y 10.37 Cms de altura.

¿Y si la lata fuera de 335 Cm3?… ¡Bah! simplemente sustituye este nuevo valor en donde aparezca 355 y desarrolla las mismas operaciones.

¿Y si en lugar de una lata fuera un frasco de 1 Ltr? Bueno… en este caso estaríamos hablando de cualquier cantidad de vidrio que al fundirse produce el frasco deseado. De cualquier manera, de acuerdo a la forma del frasco (valores de X e Y) se gasta la menor cantidad de material en su fabricación.

¿Y si la lata fuera de plástico? Igual. Podría ser una lámina o un bloque de plástico que al fundirse produce la lata deseada.

logowpnegroamarillo


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