Tópicos de Cálculo Diferencial.

27 05 2008

Tema 22. Problemas de Máximos y Mínimos.

4. En búsqueda de una lata ideal (1).

¿Cuál es el tamaño MÍNIMO debe tener una lámina de aluminio con la cual puedas formar una lata a la que le quepan 355 Mililitros, es decir 355 Cm3 de cualquier líquido? Dicho de otra manera: ¿Cómo construirías una lata a la que le quepan 355 Cm3 de tal forma que gastes la menor cantidad de aluminio?

La Lata Ideal

Hay dos cosas que pueden variar al formar la lata: anchoaltura (a estas “dos cosas” técnicamente se les llama variables). ¿Ok´?

Bien, hagamos lo siguiente… relacionemos el ancho de la lata con el radio X y la altura con Y. Igual puedes utilizar las letras que se te pegue la gana, pero lo común es utilizar X e Y.

Estudia la siguiente figura…

La lata ideal 1Datos, ecuaciones y fórmulas …

1. El Volumen (Vol.) de líquido que cabe en la lata son 355 Cm3
2. El Diámetro es 2X
3. El Perímetro es Pi por Diámetro, o sea: Π(2X) ó 2ΠX
4. El Área de la base es Π por Radio2 o sea:
Πr2 = ΠX2
5. La altura es Y
6. El radio es X.
También…
7. Vol.=(Área)(Altura) = (ΠX2)(Y)

Nunca debes perder de vista el objetivo del problema ¿qué es lo que buscamos? Recuerda que queremos encontrar las dimensiones Mínimas de la lámina de aluminio para formar una “dichosa” lata que contenga 355 Cm3 de cualquier líquido.

Entonces…

8. Vol. = (ΠX2)(Y) = 355 Cm3 Por lo tanto… Y = 355/ΠX2

¿Pero de cuánto debe ser el Perímetro total de la lámina?

La lata 2Perímetro Total = 2ΠX+2ΠX+Y+Y= 4ΠX+2Y

¿Qué derivaremos? Tiene que derivarse aquello que buscas minimizar o maximizar, en este caso el Perímetro Total (en lo sucesivo: Per.T).

Antes de derivar tenemos que “relacionar” el Volumen de la lata con el Per.T, o sea la expresión obtenida en el punto 8 en donde está implicado el Volumen con la expresión Per.T, para ello sustituimos el valor de Y, quedando…

Per.T= 4ΠX+2Y = 4ΠX+2(355/ΠX2) = 4ΠX+(710/ΠX2)

¡¡Listo!! Ya tenemos la ecuación que relaciona volumen con las dimensiones de la lata y ¡obvio! con la lámina de aluminio. Por lo tanto solo nos queda: 1) derivar, 2) igualar a cero y 3) obtener el valor de X (o sea el radio).

Per.T= 4ΠX+(710/ΠX2). Traslada la X2 al numerador (710X-2/Π) y deriva utilizando la fórmula de derivación Xn

Per.T´= 4Π+(710)(-2)/ΠX3

Per.T´= 4Π-(1420/ΠX3) Igualamos a cero…

4Π-(1420/ΠX3) = 0

4Π = 1420/ΠX3 Despejando X…

X3 = 1420/4ΠΠ

X3 = 1420/4Π2

X = 3√(1420/4Π2)

X = 3.3 Cms.

Esto quiere decir que el radio de la lata ideal en donde quepan 355 Cm3 es de 3.3 Cms.

A partir del valor de X se deduce todo lo demás…

Por ejemplo un lado de la lámina es: 2ΠX sustituyendo el valor de X queda: 2Π(3.3) = 20.73 Cms.

Luego el lado Y queda: Y= 355/ΠX2 = 355/(Π)(3.32) = 10.37 Cms.

Bien… hasta aquí los cálculos, ahora hagamos algo… ¿tienes un refresco en lata? Revisa si lo tienes en tu “refri…” y si no, compra uno, porque vamos a revisar sus medidas… ¿ya lo tienes?

La lata real¿Cuántos Mililitros contiene la lata? ¿Acaso 355 Ml o sea 355 Cm3? ¿igualito que nuestro problema? Si tiene otra medida puedes resolver el problema igualando a dicho volumen.

Con una regla o escuadra graduada en centímetros mide el diámetro de la base de la lata… ¿Acaso son 6.6 Cms o sea 2 veces el radio (3.3 Cms.) que recién determinamos?

Ahora mide la altura… ¿Acaso la altura de la parte más ancha son 10.37 Cms. aproximadamente, la misma que acabamos de determinar?

¿¡Qué tal!? Si pensabas que las latas de refresco las fabricaban al “ahi se va” ya ves que no es así, quienes las hacen siempre buscarán gastar la menor cantidad de material para ahorrar dinero.

Pero… ¿y las tapas? Simplemente multiplica el radio por 2 para obtener el diámetro, o sea (2)(3.3) = 6.6 Cms. Entonces, además de una lámina de dimensiones: 20.73×10.37 Cms. requerirás otras dos de 6.6 Cms. para las tapas. Cabe mencionar que para la construcción de la lata se utiliza un poco más de material, pero el tamaño principal es el que calculamos aquí.

¡Demonios! alguien se nos adelantó y descubrió las medidas ideales mucho antes que nosotros, ¡ni hablar! será para otra.

¿Y si en lugar del radio hubieras considerado el diámetro de la lata desde el principio? ¡Bah! Igual puedes hacer otros planteamientos y llegar al mismo resultado.

logowpnegroamarillo

T = 4*Pi*x + 2*Y

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5 responses

26 11 2012
norali

gracias su articulo fue de gran apoyo esta bien redactado mechas gracias ing.

4 03 2011
guillem

Hola:
No estoy de acuerdo en absoluto en que se derive el perímetro. Lo que debe ser mínimo para economizar el aluminio debe ser mínima la superfície de la lata, por tanto dos veces la tapa más el envoltorio. Area = 2* pi * r^2 + 2 * pi * r * h

3 03 2011
Ivan

Inge me quedo una duda ahora que estaba recordando mis tiempos de escolar. si el radio es de 3.3 y el area de la base es Pi*r^2=34.2120 cm^2 de area de la base y si multiplicamos eso por dos para la tapa de arriva seria 68.42 cm^2 extra para la base y la tapa de la lata??
Exelente explicación le mando un cordial saludo =)
…………….

Hola Ivan…
Gracias por tu comentario el cual me permitió modificar el dato del radio traducido a diámetro y luego al lado de un cuadrado. Si el radio es 3.3 Cms. entonces el diámetro es de 6.6 a partir del cual se obtiene el área circular que señalas para cada tapa, por lo que ambas tapas tendrían una medida de área de: 34.2120 Cms^2 Ahora bien si calculas el área para el cuadrado de lámina que necesitas entonces quedaría: 6.6×6.6=43.56 Cms^2
Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

26 10 2010
Ernesto

super bien el procedimiento y la explicación,
gracias, me ayudo mucho

20 02 2010
Hugh

Gracias este problema me ayudo bastante

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