Tópicos de Cálculo Diferencial.

29 04 2008

Tema 21. Derivada de una variable expresada en forma de un cociente. Forma: y=U/V.

Si tienes una variable expresada en la forma U/V [p.ej: (x-6)/(x2-5)2] aplica la siguiente fórmula inventada ¡obvio! por Sir Isaac Newton y Godofredo Guillermo Leibniz (¿¡Godofredo!? ¡Ja! vaya nombre)

d(U/V)/dx=[V*d(U)/dx – U*d(V)/dx]/V2

Derivada de una variable entre otraCuando fui joven-joven, –ahora soy un joven viejo ¡ja!- recuerdo que un maestro nos decía:

-A ver mis “santos” muchachos (hoy diría “endemoniados”), el desarrollo de esta fórmula es como sigue… “El de abajo por la derivada del de arriba menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al cuadrado”. Todavía sigo pensando que no había doble sentido en las palabras de mis sacrosanto profesor. Lo mismo pero técnicamente sería: “el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo entre el denominador al cuadrado”.

¿Cuál de las dos formas se entiende mejor? ¡Bah! las dos parecen trabalenguas, mejor resolvamos un problema, pero antes…

¿Por qué U sobre V, y no H sobre K? ¡Es igual!, incluso puedes inventar dos nuevos simbolos y ponerlos en lugar de U y V.

Hallar la pendiente de y= (x-6)/(x2-5)2 en x=3

“El de arriba” (numerador) = (x-6)

“El de abajo” (denominador) = (x2-5)2

Entonces, siguiendo cualquiera de las dos “cancioncitas” mencionadas:

y´ = [(x2-5)2*d(x-6)/dx – (x-6)*d(x2-5)2/dx]/[(x2-5)2]2

y´ = [(x2-5)2*(1-0) – (x-6)*2(x2-5)1*d(x2-5)/dx]/(x2-5)4

y´ = [(x2-5)2 – 2(x-6)(x2-5)*(2x+0)]/(x2-5)4

y´ = [(x2-5)2 – 4x(x-6)(x2-5)]/(x2-5)4

Factorizando (x2-5), queda:…

y´ = (x2-5) [(x2-5) – 4x(x-6)]/ (x2-5)4

Simplificando queda:

y´ = [(x2-5) – 4x(x-6)]/ (x2-5)3

y´ = [(x2-5 – 4x2 + 24x)]/ (x2-5)3

y´ = [(– 3x2 +24x – 5)]/ (x2-5)3

Sustituyendo X=3 en la derivada:

y´ = [(–3)(3)2 +24(3) – 5)]/(32-5)3

y´ = [(–27 + 72 – 5)]/ (9-5)3

y´ = 40/64 = 5/8 = 0.625

¿Complicado? Si te resulta difícil entenderlo más vale que resuelvas los siguientes ejercicios con toda la calma posible, en ellos encuentra la pendiente de la curva en x=2

y= (x+2)/(x+1)3
y= (2x+1)/(x2-4)2
y= (x2+3)/(x3+5)3
y= (x2-4)/(x2+4)5

© Ing. I. Guerrero Z.


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3 responses

24 07 2010
vickvick

Hola!.. antes que nada gracias por responder!!
es la sexta linea
antes dice “Factorizando (x2-5), queda:…”
y despues
“y´ = (x2-5) [(x2-5) – 4x(x-6)]/ (x2-5)4”
y es donde no se porq quedo asi…si antes estaba asi
“y´ = [(x2-5)2 – 4x(x-6)(x2-5)]/(x2-5)4” perdone mi torpeza
saludos!
………….

Hola Vickvick…

No hay cuidado, puedes preguntar mientras sea para aclarar el tema (o parte de él) y siempre contesto, y nunca digas que eres torpe por preguntar, torpe es el que no pregunta.
Te recomiendo que leas el tema: https://iguerrero.wordpress.com/2008/09/30/repaso-de-aritmetica-y-algebra-14/ que se refiere precisamente a la duda que tienes pero te lo explicaré referido a este problema.

La operación: y´ = [(x^2-5)^2 – 4x(x-6)(x^2-5)]/(x^2-5)^4 es una división y como tal tiene dos partes:

Numerador: [(x^2-5)^2 – 4x(x-6)(x^2-5)]
Denominador: (x^2-5)^4

Para hacer “más clara” la división tendríamos que factorizar el numerador.

Observa que en el numerador hay partes que se “repiten”.
Espero que lo hayas descubierto, es: (x^2-5)

Esa parte que se repite la utilizas como factor común y la multiplicas por una cantidad de tal manera que no te afecte la expresión inicial.

Quedaría: (x^2-5)[(x^2-5) – 4x(x-6)] que es lo mismo que: [(x^2-5)^2 – 4x(x-6)(x^2-5)]

Es como si te dijera tienes: A^2-4BA
Sacando como factor común la A te quedaría: (A)(A-4B) puesto que A*A=A^2 y A*4B=4AB

En realidad solo es “sacar” de la expresión el término que se repite y dejarlo multiplicando por otra cantidad de tal manera que no se afecte la expresión inicial.

Después de hacerlo ya se puede dividir y eliminar entonces el factor común: (x^2-5) del denominador: (x^2-5)^4 quedando este último: (x^2-5)^3

Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

18 07 2010
vickvick

hola como esta?? soy estudiante de secundaria y lamentablemente no entiendo en la linea donde factoria (xº2-5) por q elimina uno y kedan dos si se suponen q eran 3?
dos antes del – ya q era al cuadrado y despues del – habia uno.. donde kedo.. ojala pueda resolver mi duda.. muchas gracias por este espacio..
saludos.
…………….

Hola Vickvick…
A partir de la línea: “Entonces, siguiendo cualquiera de las dos “cancioncitas” mencionadas:” son 14 líneas hasta llegar a la solución del problema. Contando de arriba hacia abajo ¿a que línea te refieres?
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

2 05 2008
PERMUTA CORD.VERxQRO

A mi esposo lo cambian de la Ciudad que actualmente vivimos en Veracruz a la ciudad de Queretaro (trabajo). Como oferta podria informar que en el plantel en el que estoy va a ver 11 jubilaciones docentes a partir del 2009 obviamente mucha oportunidad de crecimiento.

Contactarse con: Jacaranda Orozco, asanriv@hotmail.com

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