Tópicos de Cálculo Diferencial.

29 04 2008

Tema 21. Derivada de una variable expresada en forma de un cociente. Forma: y=U/V.

Si tienes una variable expresada en la forma U/V [p.ej: (x-6)/(x2-5)2] aplica la siguiente fórmula inventada ¡obvio! por Sir Isaac Newton y Godofredo Guillermo Leibniz (¿¡Godofredo!? ¡Ja! vaya nombre)

d(U/V)/dx=[V*d(U)/dx – U*d(V)/dx]/V2

Derivada de una variable entre otraCuando fui joven-joven, –ahora soy un joven viejo ¡ja!- recuerdo que un maestro nos decía:

-A ver mis “santos” muchachos (hoy diría “endemoniados”), el desarrollo de esta fórmula es como sigue… “El de abajo por la derivada del de arriba menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al cuadrado”. Todavía sigo pensando que no había doble sentido en las palabras de mis sacrosanto profesor. Lo mismo pero técnicamente sería: “el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo entre el denominador al cuadrado”.

¿Cuál de las dos formas se entiende mejor? ¡Bah! las dos parecen trabalenguas, mejor resolvamos un problema, pero antes…

¿Por qué U sobre V, y no H sobre K? ¡Es igual!, incluso puedes inventar dos nuevos simbolos y ponerlos en lugar de U y V.

Hallar la pendiente de y= (x-6)/(x2-5)2 en x=3

“El de arriba” (numerador) = (x-6)

“El de abajo” (denominador) = (x2-5)2

Entonces, siguiendo cualquiera de las dos “cancioncitas” mencionadas:

y´ = [(x2-5)2*d(x-6)/dx – (x-6)*d(x2-5)2/dx]/[(x2-5)2]2

y´ = [(x2-5)2*(1-0) – (x-6)*2(x2-5)1*d(x2-5)/dx]/(x2-5)4

y´ = [(x2-5)2 – 2(x-6)(x2-5)*(2x+0)]/(x2-5)4

y´ = [(x2-5)2 – 4x(x-6)(x2-5)]/(x2-5)4

Factorizando (x2-5), queda:… Lee el resto de esta entrada »