Tópicos de Cálculo Diferencial.

4 04 2008

Tema 19. Derivada de un binomio de la forma y= (x+b)n o sea: y=Vn.

Si tienes una variable expresada de la forma Vn [p.ej: (x2+5)2] puedes hacer dos cosas.

1. Desarrollar la expresión para convertirla a otra más simple, y derivarla.  
2. Derivarla tal como está.

¿Cuál prefieres?

Derivada de un binomioBueno… para que decidas bien te voy a explicar las dos formas y después eliges con cual te quedas, aunque… en fin, resolvamos un ejemplo: Sea la función y=(x2+5)2 determinar su derivada.

Nota. Desde ahora te digo que no puedes aplicar directamente la fórmula (Xn) ¿Por qué? R. Porque la X2 junto con el 5 forman un binomio elevado al cuadrado. ¿Y que es un binomio elevado al cuadrado? R. Es una expresión que tiene la forma (a+b)2. Si quieres mayor información al respecto investiga al tal Newton, ese fue el canalla que los inventó junto con otro desalmado que no tenía otra cosa que hacer, más que meter en problemas a la humanidad. ¡Ah! tan felices que seríamos viviendo en las cavernas… En fin, al tipo ese –colega de Newton- lo apodaban Tartaglia (tartamudo), como no hablaba bien, mejor escribía matemáticas.

Solución 1. Desarrollando la expresión y=(x2+5)2.

Recuerdas la “cancioncita” que te hacía cantar tu profesor(a) de secundaria, que decía: -A ver jovencitos… el desarrollo de un binomio al cuadrado es como sigue, repitan conmigo: “el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo”.

¡Ok´! Aplica la misma “cancioncita” al binomio del problema.

Y = (x2+5)2 = (x2)2+(2)X2(5)+(5)2 = X4 + 10X2 + 25, ahora si, ya puedes aplicar la fórmula Xn, entonces, derivando cada parte queda…

y´ = 4X4 – 1 + (2)(10)X2-1 + 0 = 4X3 + 20X1 = 4X3 + 20X

Solución 2. Derivando directamente, utilizando la expresión:

d(Vn)/dx=n[Vn-1][d(V)/dx]

Primero entiende que: Vn = (x2+5)2 por lo tanto V=(x2+5), entonces…

y´= d(x2+5)2/dx = 2[(x2+5)2-1][d(x2+5)/dx] = 2(x2+5)(2X+0) = (2X2+10)(2X) =

y´= 4X3+20X

Observa que el resultado es el mismo en ambos casos.

Estoy seguro que pensarás -¡Bah! ¿Es todo el “chiste”? Es igual de fácil derivar por cualquiera de los dos métodos-, sin embargo resolvamos otro ejercicio y verás una diferencia.

Sea la función: Y=(X3+4)4

Solución 1. Desarrollemos la expresión. Pero este no es un binomio al cuadrado, por lo que la “cancioncita” anterior ya no funciona. Bueno, en este caso –y semejantes- puedes descomponer la expresión en dos o más partes, por lo tanto descomponiéndola en dos partes y aplicando para cada una la dichosa “canción” nos queda…

Y = (X3+4)4 = (X3+4)2(X3+4)2 = [(X3)2+2(X3)(4)+(4)2] [(X3)2+2(X3)(4)+(4)2] =

= (X6+8X3+16)(X6+8X3+16) = (X6)(X6+8X3+16)+(8X3)(X6+8X3+16)+(16)(X6+8X3+16) =

= X12+8X9+16X6+8X9+64X6+128X3+16X6+128X3+256 =

= X12+16X9+96X6+256X3+256 ¡¡¡¡Ufffff!!!!

Derivando…queda: y´= 12X11+144X8+576X5+768X2

Solución 2. Derivando directamente, utilizando la expresión:

d(Vn)/dx=n[Vn-1][d(V)/dx]

Vn = (X3+4)4y´= d(x3+4)4/dx = 4[(x3+4)4-1][d(x3+4)/dx] = 4(x3+4)3(3x2+0) = 4(x3+4)3(3x2) =

y´= 12X2(X3+4)3.

Pero… ¿son iguales ambos resultados? O sea: y´= 12X11+144X8+576X5+768X2, es igual que: y´= 12X2(X3+4)3.

Para saberlo simplemente desarrollamos la expresión: 12X2(X3+4)3 En este caso tendrás que recordar otra “cancioncita” que también debió enseñarte tu profesor(a) de la “secu”, es la correspondiente al desarrollo de un binomio al cubo (a+b)3, dice así: “El cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del cuadrado del segundo por el primero, más el cubo del segundo”. ¿La recuerdas? Si no la sabes, igual puedes descomponer (X3+4)3 en dos partes (X3+4)3 = (X3+4)2(X3+4) desarrollas el binomio al cuadrado y lo multiplicas por (X3+4).

12X2(X3+4)3 = 12X2[(X3)3+3(X3)2(4)+3X3(4)2+(4)3] = 12X2[X9+12(X6)+48X5+64] =

= 12X11+ 144X8 + 576X5 + 768X2

Concluimos entonces que ambas expresiones son iguales.

Y ahora, comparando ambos procedimientos para derivar, ¿Cuál de los dos te resulta más sencillo?

Sin duda que la segunda solución es más sencilla, y lo es porque… imagina si el exponente (n) de la expresión V fuera mayor todavía… por ejemplo: Y=(X3+9)16. De la primera forma tendrías que desarrollar un binomio a la décimo-sexta potencia. Así que… ánimo, aprende la nueva “fórmula” de derivación y aplícala cuando veas una función del tipo: Vn

Sólo por practicar resuelve los siguientes ejercicios.

Y=(X2-3)6
Y=(X-10)3
Y=(4+X)6
Y=(X3+9)16
Y=(X4+a)6

© I. Guerrero Z.

logowpbeige


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2 responses

29 10 2011
AG

De gran ayuda! muchas gracias!

19 06 2011
Erik

Me Resulto de gran Ayuda!!

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