Tópicos de Cálculo Diferencial.

4 04 2008

Tema 19. Derivada de un binomio de la forma y= (x+b)n o sea: y=Vn.

Si tienes una variable expresada de la forma Vn [p.ej: (x2+5)2] puedes hacer dos cosas.

1. Desarrollar la expresión para convertirla a otra más simple, y derivarla.  
2. Derivarla tal como está.

¿Cuál prefieres?

Derivada de un binomioBueno… para que decidas bien te voy a explicar las dos formas y después eliges con cual te quedas, aunque… en fin, resolvamos un ejemplo: Sea la función y=(x2+5)2 determinar su derivada.

Nota. Desde ahora te digo que no puedes aplicar directamente la fórmula (Xn) ¿Por qué? R. Porque la X2 junto con el 5 forman un binomio elevado al cuadrado. ¿Y que es un binomio elevado al cuadrado? R. Es una expresión que tiene la forma (a+b)2. Si quieres mayor información al respecto investiga al tal Newton, ese fue el canalla que los inventó junto con otro desalmado que no tenía otra cosa que hacer, más que meter en problemas a la humanidad. ¡Ah! tan felices que seríamos viviendo en las cavernas… En fin, al tipo ese –colega de Newton- lo apodaban Tartaglia (tartamudo), como no hablaba bien, mejor escribía matemáticas.

Solución 1. Desarrollando la expresión y=(x2+5)2.

Recuerdas la “cancioncita” que te hacía cantar tu profesor(a) de secundaria, que decía: -A ver jovencitos… el desarrollo de un binomio al cuadrado es como sigue, repitan conmigo: “el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo”.

¡Ok´! Aplica la misma “cancioncita” al binomio del problema.

Y = (x2+5)2 = (x2)2+(2)X2(5)+(5)2 = X4 + 10X2 + 25, ahora si, ya puedes aplicar la fórmula Xn, entonces, derivando cada parte queda…

y´ = 4X4 – 1 + (2)(10)X2-1 + 0 = 4X3 + 20X1 = 4X3 + 20X

Solución 2. Derivando directamente, utilizando la expresión:

d(Vn)/dx=n[Vn-1][d(V)/dx]

Primero entiende que: Vn = (x2+5)2 por lo tanto V=(x2+5), entonces… Lee el resto de esta entrada »

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