Tópicos de Cálculo Diferencial.

16 02 2008

Tema 11. Resolviendo problemas de límites.

Cuando el desalmado de tu profesor empiece a hablar acerca de límites, no te asustes ni quieras ir a la iglesia a confesarte –aunque no estaría mal que lo hicieras-. Calcular un límite es tan simple como calcular el valor de una función, por ejemplo…

Gata DisfrazadaSolución de tres problemas “diferentes” (Es la misma gata nomás que disfrazada).

1. Sea la ecuación: Y=2x+1, hallar el valor de Y, cuando X vale 3.

Si X=3 entonces sustituyéndolo queda: Y=2(3)+1=6+1=7

2. Sea la función: F(X)=2X+1, hallar F(3).

F(3)=2(3)+1=6+1=7

3. Sea la función: F(x)=2X+1, hallar el límite cuando:

X →3

Lim (2X+1) = 2(3)+1 = 6+1 = 7
X→3

¿Complicado? Obvio, habrá límites en donde tardes un poco más para resolverlos pero la mayoría implica procedimientos simples para su solución.

Observa que en los tres casos el resultado es el mismo, solo cambia la forma de escribir lo que se busca.

Salvo en los casos en donde te resulte una división de cero entre cero (casos “especiales”), o bien una división de infinito entre infinito, por lo demás los límites son exactamente igual que si calcularas un simple valor de Y para un valor de X.

Resolvamos este:

Lim (x2-4)/(x2-5x+6)=
x→2

¿Qué pasaría si sustituyeras directamente el valor del límite (x→2) en la función? Hagámoslo…

(x2-4)/(x2-5x+6) = (22-4)/[22-5(2)x+6] = (4-4)/(4-10+6) = 0/0 = ????

¿Qué debemos hacer? R. Manipular la función para “eliminar” la indeterminación.

El numerador de la función es un binomio conjugado, descompongámoslo en sus partes.

(x2-4) = (x-2)(x+2)

El denominador es un trinomio cuadrado perfecto, factoricémoslo.

(x2-5x+6) = (x-3)(x-2)

Sustituyendo en la función…

Lim (x2-4)/(x2-5x+6) = [(x-2)(x+2)]/[(x-3)(x-2)] = (x+2)/(x-3)
x→2

Entonces queda…

Lim (x+2)/(x-3) = (2+2)/(2-3) = 4/-1 = -4
x→2

Ahora resolvamos un límite “especial”.

Lim [(x+h)3-x3]/h =
h→0

Sustituyamos directamente h=0 en la función…

[(x+0)3-x3]/0 = (x3-x3)/0 = 0/0 = ????

Vemos que resulta una indeterminación… Manipulemos entonces la función, desarrollemos el binomio al cubo.

(x+h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 Sustituyendo en la función…

Lim [x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – x3]/h =
h→0

Separando toda la expresión en sus partes…

Lim (x3/h + 3x2h/h + 3xh2/h + h3/h – x3/h) =
h→0

Eliminando términos comunes queda…

Lim (3x2 + 3xh + h2) =
h→0

Aplicando límite h→0 queda…

3x2 + 3x(0) + (0)2 = 3x2

Por lo tanto…

Lim [(x+h)3-x3]/h = 3x2
h→0

¿Difícil?

Si no lo entendiste revisa de nuevo su resolución y estúdialo bien porque con este límite “especial” ya estás aprendiendo a DERIVAR una función según los métodos (rudimentarios todavía) de Newton y Leinbiz. ¿Qué tal?

Relaciona este tema con el Tema 2:

Otro de límites “especiales”.

Resolver…

Lim [(x+h)2-x2]/h =
h→0

Solución…

Lim [(x+h)2-x2]/h = Lim (x2+2xh+h2-x2)/h = Lim (x2/h+2xh/h+h2/h-x2/h) =
h→0

Lim (2x-h) = 2x
h→0

Por lo tanto…

Lim [(x+h)2-x2]/h = 2x
h→0

Sólo por practicar resuelve los siguientes límites.

Lim [(x+h)4-x4]/h =
h→0

Lim [(x+h)5-x5]/h =
h→0

Lim [(x+h)6-x6]/h =
h→0


Acciones

Information

6 responses

24 07 2011
malpama

Estimado Ingeniero, estuve leyendo este tema y tengo una observación, en el ejemplo:

Lim (x^2-4)/(x^2-5x+6)=
x→2

Dice usted que el denominador es un trinomio cuadrado perfecto, y después procede a factorizarlo.

El denominador no es un TCP ya que al factorizarlo no cumple con (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Espero haber sido claro con mi comentario y sobre todo ser de utilidad al blog.

Muchísimas gracias por contribuir con su blog, a mi me ha resuelto prácticamente la vida.
………..

¡Uff! sí, ya corregí (es un trinomio cuadrado que no es perfecto pero que ‘busca la perfección’ ¡ja!).
Gracias por comentar y con ello mejorar los temas (que al final de cuentas son de todos los Lectores/as).
Un saludo.
Ing. I. Guerrero Z.

14 11 2010
Jessy

Felicidades mui buena explicacion!!!!
pero me gustaria saber sobre los circuitos que se manejan en ohm
la verdad no les entiendo muy bien…….
sia alwien me lo puede contestar de antemano se los agradesco….
……………

Hola Jessy…
Busca en: https://iguerrero.wordpress.com/category/teoria-de-circuitos-electricos/
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

16 05 2009
sebastian

EN LA RESOLUCION DEL LIMITE. NO ENTENDI CUALES SON LOS TERMINOS COMUNES, COMO DARSE CUENTA? “Eliminando términos comunes queda…
Lim (3×2 + 3xh + h2) =
h→0”
DESDE YA MUCHAS GRACIAS. MUY BUENA INFO.. SALUDOS DESDE ROSARIO ARGENTINA.
………..

Hola Sebastian…

De la expresión:
Lim (x3/h + 3x2h/h + 3xh2/h + h3/h – x3/h) =
h→0

Observa que:

x3/h y – x3/h se anulan.

Mientras que de:

3x2h/h puedes eliminar la h quedando: 3×2
3xh2/h eliminas una h quedando: 3xh
h3/h eliminas una h quedando h2
De todo te quedaría….

Lim (3×2 + 3xh + h2) =
h→0

Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

2 04 2008
José de Jesús Estrada palomera

C. Ing. I. Guerrero.
Reciba ud. un saludo fraternal de un docente mas del nivel medio superior DGETA (Nayarit), sin duda que las nuevas propuestas de integración y/o responsabilidad directiva bajo convocatoria son una oportunidad para que los vicios que por mucho tiempo se tienen de disponer de las direcciones hoy tengan otro compromiso y responsabilidad los que aspiren a ser directivos; sin embargo a otro nivel de admisnistración (coordinacion de direcciones generales y hasta de sems en los estados) ya que la cultura que se tiene no permite respetar que impere lo mejor (respeto, responsabilidad y la calidad)

1 04 2008
iguerrero

Hola Robert…

Tu medición de la resistencia no es correcta. Si P=100 W. y V=127 V. Entonces…

R=VV/P=(127)(127)/100=161.29 Ω

Por lo tanto…

Ley de Watt: I=100/127=0.7874 A.
Ley de Ohm: I=127/161.29=0.7874 A.

Es “normal” que exista una diferencia entre los resultados de una medición y la teoría pura, pero no tan grande.

Saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

1 04 2008
Robert Olivera López

Quiero agradecerle por su excelente pagina que tiene, acerca de tópicos de instalaciones eléctricas residenciales, y preguntarle porque no coincide la ley de ohm con la ley de watt.
Ejemplo: Midiendo la resistencia de un foco con un ohmetro, el resultado que obtuve fue de 12 ohms de resistencia.
Para calcular la corriente de un foco (lámpara) en un circuito de corriente alterna de 127 volts, utilizando la ley de Ohm se tiene:
E= I • R
Despejando: I = E /R
Sustituyendo: I = 127 v/ 12 ohm
I = 10.58 amperes

Utilizando la ley de watt, se tiene que P= E • I
Despejando I= P / E
Sustituyendo I= 100 w / 127 v
I= 0.78 amperes

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