Tópicos de Cálculo Diferencial.

12 01 2008

Tema 7. ¿Qué es Dominio y qué es Rango?

Si estudiaste a conciencia los temas anteriores ya debes tener una idea más clara acerca de lo que es el Cálculo Diferencial y lo que puedes hacer con él. Siempre lo he dicho, en realidad ni la Geometría Analítica, ni el Cálculo Diferencial son complicados de entender, el problema está en las bases Aritmético-Algebraicas que todo estudiante debe tener a la hora de resolver problemas de matemáticas de este nivel, por lo tanto siempre recomiendo estudiar operaciones con fracciones (números racionales e irracionales), simplificación de polinomios (factorización) y despejes antes de incursionar en Cálculo Diferencial e Integral.

Ahora hablemos de DOMINIO y RANGO de una función o ecuación.

Analiza la siguiente figura.

Donald Frenando valores

¿Por qué Donald y su clon están marcando un ALTO en el margen 2 y -2 en la función Y=√(4-X2)?

¿Qué pasaría si das a la X un valor mayor que 2? Hagámoslo.

Por ejemplo, si X=2.1, Y=√(4-2.12)=√(4-4.41)=√-0.41 no procede… Igual sucede con -2.1 Lógicamente si X recibe cualquier valor mayor al anterior pasará exactamente lo mismo, de igual forma si X recibe cualquier valor menor de -2

¿Lo anterior a qué nos lleva?

El “asunto” anterior nos obliga a “repensar” los valores “arbitrarios” que podemos asignar a una variable. Sucede a veces que estos valores no son tan arbitrarios, o sea, lo que he dicho a veces “dale a la X los valores que se te pegue la gana” tiene sus “asegunes”, de ahora en adelante, como dicen por ahí, “asegún” sea la ecuación serán los valores que podrás asignarle a la X.

A estas alturas de tu educación debes saber que en matemáticas comunes la raíz cuadrada de un número negativo no procede, y no funciona porque se trata de números reales, (es como pensar en una circunferencia que tiene un área negativa o un cubo con un volumen negativo). Las raíces cuadradas de números negativos solo son posibles con números imaginarios, y por lo regular las matemáticas trabajan con números reales.

De todo lo anterior se desprenden dos nuevos términos que alegremente tendrás que agregar a tu repertorio de nuevas palabras, me refiero a Dominio y Rango. 

DOMINIO es el conjunto de valores “permitidos” para la variable independiente (X). En otras palabras, no siempre puedes darle el valor que se te antoje a una variable, pues hay casos en donde el asunto simplemente “no funciona”.

RANGO es el conjunto de valores que resultan para la variable dependiente (Y) de los “permitidos” para la variable independiente (X). Hay quienes al Rango le llaman Imagen

Por ejemplo en la expresión: y=√(x-2), lo valores permitidos para X deben ser igual o mayores de 2, de lo contrario quedaría la raíz cuadrada de un numero negativo, y ya sabemos que: siempre que resulte la raíz cuadrada de un número negativo simplemente no procede la operación.

Para la expresión y=√(1-X) el dominio son los valores menores o iguales que 1, o sea: X ≤1, mientras que el rango es la serie de valores que pueden obtenerse para Y a partir de X ≤1, entonces: Y ≥0 otra forma de expresar lo mismo: 0≤ Y ≤+

Veamos otro ejemplo.

Si alguien te dice… Sea la función f(x)=X2 ¿Cuál es su dominio y cuál su rango? 

Al observar la ecuación puedes ver que X puede recibir cualquier valor por lo tanto su Dominio es el conjunto de los números reales que van desde infinito negativo hasta infinito positivo. Expresado de otra manera:

≤ X ≤+

Para el Rango solo puede haber valores positivos, ¿Por qué? Porque al elevar al cuadrado la X siempre resulta un número positivo, por lo tanto: 0≤ Y ≤+

Finalmente para el caso del pato Donald Y=√(4-X2) ¿Cuál es el dominio y cuál el rango? En otras palabras: ¿Cuáles son los valores permitidos para X y cuáles para Y? Ya vimos que si X es mayor de 2 quedaría la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto el Dominio estaría en: -2≤ X ≤2, y el Rango: 0≤ Y ≤2. Cabe mencionar que en este caso el Dominio forma parte de la misma ecuación, pero hay otros en donde puedes restringirlo a los límites particulares que requieras. En otras palabras, tú puedes dar el margen que necesites según el problema que tengas.

A manera de ejercicio encuentra el Dominio y Rango de las siguientes funciones.

F(x)=√(9-x2)
Y=X3
F(x)=√(x2-16)
Y=2x+1
F(x)=1/(x-2)
Y=X2-4X+4
F(x)=√(5-X)
Y=√(X-3)


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3 responses

10 01 2009
maritza

porfa me ayudan a buscar dominio y rango de:
3x+2y-xy=1
x2+4x-y=0

3 10 2008
Paola

Ing. usted dice que cuando tenga una raiz solo opero lo que esta dentro de la raiz como ecuación, pero como se que tengo que colocarle mayor igual o simplemente mayo ?? y también cuando se invierte el signo de mayo a meno?? favor me ayuda con estas consultas.
Gracias,
…………

Hola Paola…
La idea de estos artículos de matemáticas es solo para explicarte algunos temas y quizá -eso espero- hacerlo de una manera más sencilla para ayudarte a que lo entiendas, y nada más. Tus dudas puedes preguntarlas en FOROS de matemáticas.
1. Si en una ecuación hay más términos además de una raíz tienes que tomarlos en cuenta todos.
2. Para saber cuando debes colocar el símbolo mayor o menor respecto a X mentalmente asígnale valores y observa como se comporta el signo del resultado de la resta, por ejemplo: F(x)=√(9-x2)
Evidentemente si X es 3 al elevar al cuadrado se hace 9 y al restarlo queda cero. Entonces el asunto se inclina hacia el 3 ¿Si das un valor mayor que 3 que pasará? El resultado de la resta será un número negativo por lo que ya no procede, luego entonces los valores para X deben ser menores de 3, pero ¿hasta que valores menores de 3? Puesto que un número negativo al elevarse al cuadrado se hace positivo entonces si das un valor de -3 el resultado es cero, pero si asignas un valor más grande por ejemplo -4 te quedará la raíz cuadrada de un número negativo por lo tanto los límites para esta función están dentro de +3 y de -3 Determinado lo anterior simplemente colocas en medio de los dos valores la X y escribes con simbolos lo siguiente “los valores de X deben ser menores que +3”, o sea: X ≤ +3 “y mayores que -3” o sea: X ≥ -3, o lo que es lo mismo: -3 ≤ X ≤ +3
Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

4 09 2008
alejandro peña ortiz

disculpe me podria decir como se hacen las raices con diferenciales? pork no las encuentro en ningun lado! porfa va! gracias!!
…………..

Hola Alejandro…
Lo siento, tu petición está fuera de las expectativas de este Blog.
https://iguerrero.wordpress.com/2007/11/06/topicos-de-calculo-diferencial/
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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