Tópicos de Cálculo Diferencial.

6 12 2007

Tema 6. ¿Se puede hacer que una Secante sea lo mismo que una Tangente?

Actualización aquí.

SEGUNDA PARTE.

Sea la recta tangente a la curva Y=X2 que pasa por el punto P1(2,4). Hallar su pendiente.

EJERCICIOEl punto que “toca” la tangente es P1(2,4). Otro punto cercano a éste lo puedes determinar con un valor ligeramente mayor al 2, por ejemplo: 2.01

Sustituyamos este nuevo valor de X en la ecuación de la curva y obtengamos Y. Entonces queda:

Y=(2.01)2=4.0401 ¡Ok! Ya tenemos el valor complementario.

Por lo tanto el otro punto es P2(2.01; 4.0401)

Conocidos los dos puntos la cosa se vuelve fácil, simplemente aplicamos la “fórmula” de René Descartes:

M=(Y2-Y1)/(X2-X1), resultando: M1=(4.0401-4)/(2.01-2)=0.0401/0.01=4.01

Podríamos decir que la pendiente de la recta tangente es 4.01, pero, pero, pero… no hay que perder de vista que esta es la pendiente de la recta SECANTE y no de la tangente. Sin embargo podemos hacer lo siguiente.

Ubiquemos otro punto (P3) todavía más cercano al anterior (P2) y veamos que pasa. Hagamos X=2.0001, sustituyamos este nuevo valor de X en la ecuación de la curva y obtengamos Y.

Entonces queda: Y=(2.0001)2=4.00040001

Por lo tanto, otro punto de la curva Y=X2 cercano al punto P1(2,4) es P3(2.0001; 4.00040001)

Sustituyendo en la fórmula de la pendiente queda:

M2=(4.00040001-4)/(2.0001-2)=0.00040001/0.0001=4.0001

Podríamos decir que esta es ya la pendiente de la recta tangente, sin embargo hagamos un tercer cálculo con otro valor de X todavía más próximo que los otros dos valores. Hagamos que X tenga un valor 2.000001, sustituyamos y obtengamos Y…

Y=(2.000001)2=4.000004, entonces el punto es: P4(2.000001; 4.000004)

Ahora determinemos la nueva pendiente.

M3=(4.000004-4)/(2.000001-2)=0.000004/0.000001=4

Mi calculadora arroja un 4 exacto, no sé la tuya. Si no te apareció un cuatro te mostrará un valor muy cercano a él.

Observa los tres resultados para la pendiente, compáralos y saca tus propias conclusiones.

M1=4.01
M2=4.0001
M3=4

¿Qué pasa cuando acercas el punto de la secante al punto de la tangente?

Respuesta. El valor se acerca más al cuatro hasta que llega a él. Dicho de otra manera, el valor de la pendiente tiende a 4. Otra forma de decirlo: la “diferencia” entre la primera pendiente y la última tiende a ser cero. ¿La “diferencia”? ¿Sabes por qué al cálculo se le llama DIFERENCIAL? Precisamente por las pequeñas diferencias entre uno y otro resultado que al final tienden a cero.

En conclusión la pendiente de la tangente es 4.

La diferencia entre los tres valores de la pendiente es la aproximación al cero que encontraron Newton y Leibniz. Desde luego que si tuvieras una súper-calculadora te hubiese arrojado más decimales en el tercer cálculo que hicimos, pero al final igual llegarías al 4.

Ahora vayamos más allá de lo anterior. ¿De que otra manera más fácil y exacta se puede determinar la pendiente de la recta tangente a la curva Y=X2 en el punto P1(2,4)?

¿Recuerdas lo que vimos en el Tema 2 de los Tópicos de Cálculo Diferencial? Acuérdate que mediante un simple procedimiento se puede derivar una función.

Si la ecuación es Y=X2 simplemente el exponente lo multiplicas por el coeficiente de X y le restas 1 al exponente. O sea:

Y´=(2)(1)X2-1=2X1=2X, por lo tanto la derivada de Y=X2 es 2X

Ahora sustituye el valor de la coordenada X del punto P1, o sea 2 en la derivada ¿cuanto obtienes? 2X=2(2)=4

Es el mismo 4 que habíamos obtenido por prueba y error con el método anterior.

Ves que fácil es por este camino… No tuvimos que medir nada, tampoco recurrimos a los métodos de Euclides, no tuvimos que molestar a nadie diciéndole, ¡Oye préstame tu regla por favor! Todo el cálculo lo hicimos en la libreta.

Pero… ¿eso es todo?

Bueno, adicionalmente podríamos determinar la ecuación de la recta tangente a la curva, utilizando la ecuación ordinaria de Descartes: y-y1=m(x-x1)

Sustituyamos las coordenadas del punto P1(2,4) y la pendiente obtenida m=4 y obtenemos:

y-4=4(x-2); y=4x-8+4; y=4x-4

Por lo tanto la ecuación ordinaria de la tangente a la curva Y=X2 en el punto P1(2, 4) es: y=4x-4; o bien expresada en su forma general:

-4X+Y+4=0

OKKKKK´ Tema concluido.

© Ing. I. Guerrero Z.


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4 responses

17 09 2010
Héctor

Ing.:

Quiero felicitarlo por su trabajo y la manera tan amena en que transmite sus conocimientos. Descubrí este blog por accidente, pero me ha despertado el interés por volver a estudiar las matemáticas. También sus tópicos sobre instalaciones eléctricas me son muy útiles ya que soy arquitecto, y normalmente no exploramos tan a fondo esta disciplina durante la carrera, sin embargo me ha sido necesario aprender y aplicar varias cosas que no sabía sobre el tema en el poco tiempo que tengo ejerciendo mi profesión. Quizá pueda auxiliarlo a enriquecer algunas de las secciones del Blog, como la de Auto Cad por ejemplo, por lo cual me pongo a sus ordenes. Saludos.

Arq. Héctor Manuel González Fuentes.
…………..

Hola Arq. Héctor…
Un cordial saludo colega y adelante, lo que quieras aportar al Blog será bienvenido. La intención es apoyar con conocimientos prácticos gratuitos de todo tipo a la sociedad (alumnos, profesores, y lectores/as en general).
Te dejo una dirección provisional a la que puedes enviar tus colaboraciones. iigroz@hotmail.com
Un abrazo.
Ing. I. Guerrero Z.
P.D. Los créditos de elaboración serán tuyos, tal como sucede con otros colaboradores.

6 12 2007
iguerrero

Hola David…

¡¡¡Por fin!!!, alguien que lee estos Tópicos. El 90% de las lecturas son en la sección eléctrica. Y es que, ¡maldición! hay poca gente que le guste las matemáticas. En fin… de cualquier manera seguiré escribiendo.

Buenas noches David.

Ing. I. Guerrero Z.

6 12 2007
DAVID

ING. SOLO DOY LAS GRACIAS QUERIA HACERLE UNA PREGUNTA PERO YA ESTUVE LEYENDO ALGUNAS RESPUESTAS QUE A DADO Y EN UNA ERA LA QUE LE IBA A PREGUNTAR YA RESOLVI MI DUDA MIL GRACIAS.

6 12 2007
DAVID

BUENAS NOCHES ING . MUCHAS GRACIAS

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