Tópicos de Cálculo Diferencial.

4 12 2007

Tema 6. ¿Se puede hacer que una Secante sea lo mismo que una Tangente?

Actualización aquí

PRIMERA PARTE.

En primer lugar, una secante es una recta que toca dos puntos de una curva, mientras que una tangente es una recta que toca un punto –y solo uno-.

Entonces… ¿Se puede hacer que una secante sea lo mismo que una tangente?

TANGENTE Y SECANTEBueno… podríamos acercarlas tanto una a la otra que sería muy difícil diferenciarlas.

Atiende a la figura de al lado.

Puedes ver que las dos rectas están perfectamente definidas, a simple vista sabes cual es la secante y cual la tangente. Pero si el punto blanco -común a ambas- te sirviera como eje y “movieras” la secante en el sentido de las manecillas del reloj, acercándola a la tangente, llegaría un momento en que estarían tan “pegadas” -o encima- una de la otra que por mucho que las observaras con unos súper-binoculares, es más, ni el mismísimo Supermán con su súper-vista, podrian diferenciarlas y sin embargo ambas existirían y serían diferentes.

Recuerdas que en el tema anterior comenté del casi casi cero, pues bien aquí tienes una situación en la que entra en juego la aproximación a cero. Te lo explicaré de la siguiente manera.

Un problema. Supón que quisieras encontrar la pendiente (m) de una recta tangente a una curva con solo saber el punto de “contacto” ¿Se puede?

Solución 1. Podrías utilizar regla, compás y transportador y hacerlo físicamente, dibujado la curva, colocando su recta tangente, midiendo su ángulo y aplicando la función tangente.

Ahora bien, ¿Es exacto el método anterior? Un ¡¡NOOOO!! rotundo. Todos los métodos físicos para determinar la medida de cualquier cosa son INEXACTOS siempre el resultado es APROXIMADO, por esta razón existe el denominado PRINCIPIO de INCERTIDUMBRE de un tal HEISEMBERG que decía que al medir cualquier cosa por el simple hecho de medirla ya inducía a error. El señor tenía razón, por ejemplo al introducir un termómetro en un recipiente con agua para medir su temperatura, por haberlo introducido ya cambió su temperatura -aunque sea un poco- por lo tanto ya se indujo error en la medida. Asi que…

Solución 2. Si conoces dos puntos de la recta tangente, aplicando una de las fórmulas de René Descartes m=(y2-y1)/(x2-x1) el problema se resuelve fácil y el resultado es EXACTO. Pero… ¡un momento!, una mosca ha caído en la sopa, ¡una gigantesca y asquerosa mosca.! Resulta que una recta tangente toca SOLO UN PUNTO de la curva –y solo uno- y para saber su pendiente requerimos conocer las coordenadas de dos puntos. ¿Entonces que hacemos? ¿Regresamos a la primera solución que equivaldría a utilizar los métodos de Euclides de hace más de 2000 años?

Para tu buena fortuna estimado lector, Newton y Leibniz inventaron un procedimiento para resolver este problema. Podría reproducirlo aquí, pero a estas alturas después de cuatrocientos años que lo hicieron hay más formas de llegar a lo mismo mediante procedimientos más fáciles de comprender.

Recuerdo la primera vez que estudié el método de Newton-Leibniz –hace ya muchos años- no lo entendí. Tuvieron que pasar algunos más hasta que por necesidad tuve que aprenderlo y es exactamente lo mismo que les explicaba a mis alumnos. Pero con los años uno empieza a descubrir cosas y a entender mejor otras, y también a aplicar sus propios métodos, así que te lo voy a explicar a mi manera. Regresemos al problema.

¿Cómo determinar la pendiente de la tangente a una curva conocidos solo un punto de una recta tangente y la ecuación de la curva? Simple… Si necesitas dos puntos para determinar la pendiente de cualquier recta, entonces busca otro punto cercano al punto que te den. Lógicamente dicho punto a determinar debe formar parte de la curva.

Veámoslo con un ejemplo…

Continuaré en próxima ocasión.

© Ing. I. Guerrero Z.


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