Tópicos de Geometría Analítica.

6 07 2009

Tema 4. ¿Cómo hacer una ECUACIÓN?

Actualización: Julio 6 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Julio 14 de 2007.

Partimos de una situación física REAL, algo que puedas VER y TOCAR.

Supón que quieres hacer una pequeña caja abierta por arriba a partir de una simple hoja cuadrada de papel de 10 cms. de lado, para colocar en ella pequeñas cuentas de chakira (de las que se utilizan para hacer pulseras, collares, bolsas, etc).

PAPEL3Supón también que necesitas que a la caja le quepa la mayor cantidad de cuentas posible, o sea que tenga el mayor volumen posible.

1. Tienes la hoja cuadrada de papel de 10 Cms. de lado.

2. Recortas una cantidad X de papel de las esquinas para dejar unas “pestañas” a los lados. X puede ser cualquier medida: 1 Cm, 2, 1.5, etc.

3. Las pestañas te quedarán de largo: 10-2X.

4. Doblas las “pestañas” y los lados de la caja te quedan de: 10-2X.

5. Formas la caja abierta por arriba y te queda: lados de 10-2X, y la altura de la caja de X.

Ahora bien, si recuerdas lo que viste en tu educación secundaria en la asignatura de física, el Volumen de cualquier objeto sólido es: (lado) por (lado) por (lado) o bien: largo por ancho por alto… por lo tanto para nuestra caja el volumen sería:

(10-2X)(10-2X)(X)

¿De acuerdo?

Escrito de otra forma: V = (10-2X)(10-2X)(X) o también si queremos utilizar otra letra en lugar de V podemos utilizar Y = (10-2X)(10-2X)(X), para hacerla que se parezca a las ecuaciones que ya hemos visto…

En realidad puedes utilizar cualquier par de letras que te gusten en lugar de X e Y. Te garantizo que se no se molestarán ni Pitágoras, ni Al Juarismi, ni el vendedor de aguas frescas de la esquina…

Multiplicando la parte derecha de la ecuación queda:

Y=(100-20X-20X+4X²)(X)=100X-40X²+4X³ es decir:

Y = 100X-40X²+4X³

¡Listo!

Acabamos de inventar una ecuación partiendo de una situación física REAL, para una hoja de papel que forma una caja al recortar sus esquinas y doblar las “pestañas” que quedan.

¿Difícil? Si no lo entendiste más vale que repases los temas de algebra que debiste haber estudiado en semestres anteriores.

Bueno… y esa ecuación que acabamos de inventar ¿para que sirve?

Recuerda que estamos buscando una caja con el mayor volumen posible y de acuerdo a lo que vimos en el tema 1, tenemos que darle valores a la X y obtener valores de Y que es la variable que representa el volumen. Así que ¡ánimo! a darle valores.

Empecemos con CERO, y digamos: Si X vale CERO entonces Y queda:

Y = (100(0)-40(0)²+4(0)³) = (0-0+0) = 0

Entonces, Si X vale CERO Y vale CERO también, pero ¿y ese resultado matemático como debemos interpretarlo en nuestra realidad física?

Puesto que la Y significa el volumen de la caja podemos decir…

Si la altura X de la caja es CERO, entonces la caja no tendrá ningún volumen, o dicho de otra manera NO HAY NINGUNA CAJA. Y es cierto, porque cuando la altura X es CERO la hoja de papel está plana (figura 2)… ¿lo entendiste?

Si acaso no lo comprendiste regrésate un poco más atrás y lee de nuevo.

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Tópicos de Geometría Analítica.

29 06 2009

TEMA 3. ¿Qué aplicaciones tiene la Geometría Analítica?

Actualización: Junio 28 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Julio 6 de 2007.

Aplicaciones existen infinitas, todo depende del interés y de la inteligencia del que la utiliza.

goool1En el fútbol mientras todo el mundo observa si la pelota entra o no en el arco rival para gritar el tan ansiado ¡¡Gooool!!, hay unos que ven además una parábola. Lanzas una piedra al aire y mientras la gente observa como se eleva para después caer, tu ves además una parábola, estudias el movimiento de los planetas alrededor del Sol y ves que se forman elipses, quieres calentar agua en un lugar en donde se le dificulta a la gente conseguir leña para hacerlo, tú simplemente formas una cavidad de frente al Sol, la cubres con un material reflejante y colocas el recipiente en ella, etc, etc, etc.

Estudiar teoría de Geometría Analítica significa convertir lo que ves, una situación real, visible a todo el mundo, al lenguaje matemático haciendo una ecuación, por ejemplo cuando haces la ecuación de la trayectoria rectilínea de un avión durante cierto tiempo, cuando haces la ecuación de la trayectoria de una bala en todo momento, cuando haces la ecuación de la recta que forma el pasamanos de una escalera, cuando haces la ecuación de la curva de una antena parabólica, del filo de la regla o de la escuadra con que realizas trazos, del asta de la bandera, etc.

¿Pero lo anterior, para que podría servirte?

Bueno… se trata de que descubras lo que oculta la naturaleza, lo que no es visible a todo el mundo y que solo las mentes privilegiadas -como la tuya- pueden verlo. La gente común se conforma con mirar y saber utilizar las cosas, tú, además de lo anterior debes saber cómo están compuestas interiormente, esto es ir un paso más allá que los demás, esto es EVOLUCIÓN. Según don René Descartes inventor de la Geometría Analítica, todo lo que nos rodea está compuesto de puntos, rectas y curvas, por lo tanto la naturaleza y sus procesos pueden ser interpretados matemáticamente por medio de ecuaciones y gráficos que las contengan… ¿¡Qué tal!? Por ejemplo busca en tí y entre tus cosas cinco circunferencias.

Don René no ha caminado solo con su idea, la ciencia reconoce que todo lo físico, eso que puedes ver y/o tocar, efectivamente es una composición geométrica de puntos, círculos, rectas, elipses, parábolas, etc. incluso Galileo Galilei contemporáneo de René Descartes compartía las mismas ideas. Todavía más, aquello que no puedes ver ni tocar también se compone de rectas, circunferencias, parábolas, elipses, etc., por ejemplo… en un imán.

¿Podría representarse a un ser humano por medio de una ecuación?

VitruvioActualmente no, pero esto no quiere decir que en un futuro no pueda hacerse, de hecho el genoma humano es un avance en este sentido. Lo más que podría hacerse hoy es “traducir” a una fórmula algunas de sus partes relacionándolas con una figura conocida (rectas, circunferencias, parábolas, etc.).

Desde que la Geometría Analítica nació hasta hoy existen muchos tipos de curvas “naturales” (otras inventadas) perfectamente convertidas a una ecuación, pero falta mucho por hacer. ¡He ahí una oportunidad para todos!

Si una figura puede ser traducida a una ecuación, también puede hacerse con un proceso… Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

24 06 2009

TEMA 2. Sistema Coordenado Cartesiano.

Actualización: Junio 23 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Julio 1 de 2007.

Nombrado así en honor del inventor de la Geometría Analítica, un Sistema Coordenado Cartesiano dibujado en el papel o en la computadora (o en donde quieras) te permitirá saber por medio de la colocación de puntos obtenidos de una ecuación, la trayectoria, el comportamiento o la localización de una cosa, por ejemplo: la trayectoria de un avión, la localización de una casa, la posición de un auto, de una hormiga, de un planeta, la producción de una empresa, etccccccc.

Sistema Coordenado CartesianoAdemás de nombrársele Sistema Coordenado Cartesiano también se le llama: Sistema en el plano, Sistema Bidimensional, Sistema Coplanar, Sistema Coordenado Rectangular, o simplemente Sistema Rectangular.

Bidimensional quiere decir dos dimensiones (largo y ancho; largo y alto; o ancho y alto). Dos dimensiones son dos medidas de posición, es decir DOS datos que te permiten colocar -por ejemplo- un objeto en un lugar.

El Sistema Coordenado Cartesiano utiliza dos rectas perpendiculares (90° entre sí) llamadas Ejes para ubicar un punto a partir del conocimiento de sus dos coordenadas (un valor para X y otro para Y). Al unir los puntos obtenidos de una ecuación particular se forman líneas rectas y curvas. Los dos ejes pueden segmentarse (dividirse) a criterio, de 1 en 1, de 5 en 5, de 100 en 100, etc. de acuerdo al problema que se tenga. Por costumbre al Eje horizontal se le llama: Eje de las X’s o simplemente ABSCISA (abscisa quiere decir “cortada”), también por tradición al eje vertical se le llama Eje de las Y’s u ORDENADA.

Al punto en el que se cruzan ambos Ejes (X e Y) de un Sistema Coordenado Cartesiano se le llama: ORIGEN. Sus coordenadas son: (0, 0)

Ejemplo. Dibuja un Sistema Coordenado Cartesiano y ubica los puntos:
A(2, 2); B(4, 2); C(-3, -3); E(1, -4.4); F(0.5, 0.5).

Nota. Los resultados puedes verlos en la primera figura (da un clic encima para crecerla).

Un sistema coordenado más simple es el denominado Rectilíneo o Unidimensional (una dimensión: una medida) el cual se representa mediante una recta vertical u horizontal, pero solo una. Igualmente está segmentado en unidades que corresponden al tipo de problema por resolver. En él solo tienes que saber el valor de una coordenada y colocar un punto en el número correspondiente de la recta.

Ejemplo. Dibuja un Sistema Rectilíneo y coloca los puntos A(-3), B(1), y C(3).

Sistema Unidimensional

En un Sistema Rectilíneo el número que está a la derecha de otro siempre es mayor.

Tarea.
1. Dibuja un Sistema Coordenado Cartesiano y ubica los puntos:
K(2, 4); L(-1, 3); M(0.5, -2); N(-4, -1/2).
2. Dibuja un Sistema Rectilíneo y ubica los puntos:
P(5); Q(-2.5); R(0); S(3.5)

logowpnegroverde





Tópicos de Geometría Analítica.

22 06 2009

TEMA 1. ¿Para qué sirve la Geometría Analítica?

Actualización: Junio 20 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Junio 30 de 2007.

Además de servir para desarrollar tu cerebro, la Geometría Analítica resuelve dos problemas fundamentales:

1. La gráfica de una ecuación.
2. La obtención de una ecuación a partir de una serie de datos.

rene-descartesEl tipo que ves a la izquierda es René Descartes (un francés con cara de “pocos amigos” vestido a la “Jack el destripador“). Éste señor fue el que inventó la Geometría Analítica, y es por lo tanto el culpable si repruebas la materia, así que deja de echarles la culpa a tus “profes”. Más adelante nos ocuparemos de él, por el momento dediquemos el tiempo a hablar de su obra y del valor tan importante que tiene en el mundo de las matemáticas.

¿La gráfica de una ecuación? pero… ¿Y qué demonios es una ecuación?

Una ecuación es un conjunto de letras y de números que sirven para indicar una igualdad, por ejemplo cuando dices: “Leer un libro es igual a quedarse dormido” es una ecuación (mala pero lo es), igual podrías decir: LUL=QD (es lo mismo pero con letras). Una mejor ecuación podría ser “Leer un libro es igual a saber más” o bien: LUL=SM, ésta si es una excelente ecuación sobre todo si eres estudiante.

Pues bien, las anteriores son ecuaciones de la vida real, sin embargo cuando se habla de matemáticas se manejan dos tipos de ecuaciones: Aritméticas y Algebraicas.

Un ejemplo de una ecuación Aritmética es: 2+3=5, lo mismo que: 5=2+3
Un ejemplo de una ecuación Algebraica es: A+B=C. Una que debes conocer es: Vel.=Dist./Tiempo (V=D/T).

La diferencia entre una ecuación Aritmética y una Algebraica es que mientras en la primera no puedes cambiar sus valores (el 2 siempre valdrá 2, el 3 siempre valdrá 3 y el 5 siempre valdrá 5), en la segunda los valores de A, B y C pueden ser cualesquiera (la A puede valer 327, 2, 0, 6353, etcccc, la B puede valer 1, 4323, 2345, etcccc, y la C puede valer 2343, 74, 12, etcccc.), obvio, los valores que tengan A y B deben ser tales que su suma siempre resulten en C, por ejemplo si A vale 10 y B vale 50 entonces C forzosamente valdrá 60; si A vale 14 y B vale 200 entonces C valdrá 214.

Para expresar una ecuación Algebraica puedes utilizar las letras que quieras: A+B=C, es igual que si dijeras: X+Y=Z; P+Q=R; H+M=N.

Graficar una ecuación en la mayoría de los casos es sencillo, solo se necesita darle valores arbitrarios (los que tú quieras) a una de sus letras y obtener con ello los valores de otra letra de la ecuación.

Por ejemplo:

Graficar la ecuación: Y = X + 1.

La X técnicamente se llama VARIABLE INDEPENDIENTE y es la que recibirá el valor que quieras, la Y se llama VARIABLE DEPENDIENTE y es la que obtiene su valor dependiendo del valor que tenga la otra. El 1 se llama CONSTANTE.

Démosle cuatro valores a la X por ejemplo: 0, 1, 2 y -1.

Si X = 0 entonces al sustituir este valor (lo cual significa quitar la X y poner su valor) en la ecuación: Y = X + 1 quedaría:

Y = 0 + 1 = 1 Por lo tanto: Y=1 ¿Difícil?

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Tópicos de Geometría Analítica.

6 03 2009

TEMA 23. Área de un triángulo.

Actualización: Marzo 06 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Octubre 15 de 2007.

En Geometría Analítica un triángulo es la porción de un plano limitado por rectas.

El área de un triángulo puede determinarse utilizando la fórmula tradicional: A=b*h/2, pero también puedes hacerlo por medio del cálculo de las distancias entre los puntos de sus vértices y luego aplicando la fórmula mencionada, o simplemente con las coordenadas de los vértices, veamos un caso.

triaga1Ejemplo.

Ubica los puntos P(0,0); Q(8,0); R(4,5) en un sistema coordenado cartesiano, únelos por medio de rectas y calcula al área del triángulo que se forma.

Solución.

Determinemos la longitud de sus tres lados, calculando la distancia entre dos puntos, por lo tanto:

1. Distancia entre los puntos P(0, 0); Q(8, 0), queda:

D=√((8-0)2+(0-0)2) =8; que es la base del triángulo.

2. Distancia entre los puntos P(0, 0); R(4,5). Sustituyendo coordenadas queda:

D=√((4-0)2+(5-0)2) = 6.43

Distancia entre los puntos Q(8, 0); R(4,5). Sustituyendo coordenadas queda:

D=√((4-8)2+(5-0)2)= 6.43

Al a-na-li-zar los tres resultados puedes observar que se trata de un triángulo isósceles.

De la fórmula: A=b*h/2

A es el área, b es la base y h es la altura.

Para calcular la altura (h), simplemente determina las coordenadas del punto medio de la base del triángulo y luego calcula la distancia desde el punto medio hasta el vértice superior. Los puntos que conforman el segmento del cual ha de determinarse el Punto Medio son P(0, 0); Q(8, 0).

Sustituyendo datos queda:… Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

31 10 2007

Tema 24. Aplicando la Tecnología para agilizar cálculos en Geometría Analítica.

Este artículo es para profesores que impartimos Geometría Analítica. En concreto, es para quienes les gusta inventar problemas sobre la marcha en el desarrollo de un tema.

Laptop aplicada...En matemáticas, después de explicar un tema, resolver uno o más problemas afines y de responder las dudas normales de los alumnos, muchos profesores procedemos a anotarles una serie de ejercicios en el pintarrón. Así que, mientras ellos trabajan en su solución, igual trabajamos resolviéndolos para tener certeza a la hora de calificarlos. Pero, pero, pero….resolver varios problemas en clase a diario y diferentes entre sí en los grupos a los que se les imparte la misma asignatura, resulta extenuante y además con las distracciones a cada rato por las preguntas normales de los alumnos es fácil incurrir en errores.

Ahora bien, “inventarles” problemas de matemáticas a mis jóvenes alumnos no me lleva tiempo, el problema es a la hora de calificarlos. Por lo general terminan de resolverlos tres o cuatro al mismo tiempo y en lo que acabo de revisarles sus trabajos ya están otros siete u ocho esperando. Así que, en un lapso de veinte minutos tengo al grupo encima queriendo que les califique ¡a todos al mismo tiempo!. ¡Uff! y ¡¡¡Recontra ufff!!!

Una forma de resolver este problema es utilizando alumnos-monitores, los primeros que terminan y tienen correctos sus resultados pueden ayudar a calificar a los demás. Sin embargo para cualquier profesor siempre quedaría la “espinita” o “el gusanillo” de revisar todos los trabajos para ver en donde se equivocan los jóvenes. Así que… Leer el resto de esta entrada »








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