Tópicos de Geometría Analítica.

10 12 2009

Tema 25. Parábolas con vértice fuera del origen.

A diferencia de las Parábolas con Vértice en el Origen las cuales solo pueden abrirse hacia cuatro lados (por lo menos las más simples), desde el punto de origen de cualquier sistema coordenado cartesiano, el resto de parábolas pueden estar colocadas en cualquier lugar del mismo, pero igual que las otras se abren hacia cuatro lados (arriba, abajo, derecha e izquierda), a éstas últimas se les designa con el nombre de  Parábolas con Vértice Fuera del Origen.

Don René Descartes decía:

Caso 1. Si la parábola se abre a la derecha se relaciona con la ecuación:

(y-k)2= 4p(x-h)

Caso 2. Si la parábola se abre a la izquierda se relaciona con la ecuación:

(y-k)2= – 4p(x-h)

Caso 3. Si la parábola se abre hacia arriba se relaciona con la ecuación:

(x-h)2= 4p(y-k)

Caso 4. Si la parábola se abre hacia abajo se relaciona con la ecuación:

(x-h)2= – 4p(y-k)

Esta vez será solo teoría.

Veamos un problema…

Sea la ecuación: (y-3)2= – 8(x+2) ¿Qué datos puedes obtener con solo analizar la ecuación?

Solución. Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

4 12 2009

Tema 24. Distancia entre dos rectas paralelas.

Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia existente entre el par de rieles de la vía del ferrocarril? Lo más probable es que la obtendrías midiendo con una cinta de un riel a otro formando una perpendicular entre ambos, lo cual está bien, solo que esa es la antigua geometría de Euclides, la cuestión es: ¿cómo hacer lo mismo aplicando la geometría moderna de R. Descartes que ya sabemos que es más exacta y no requiere reglas escuadras ni compaces?

Te diré tres formas de hacerlo aplicando la Geometría Analítica.

Si ya sabes calcular la distancia de un punto a una recta te resultará sencillo determinarla entre dos rectas que son PARALELAS. Veamos un problema.

Hallar la distancia entre las rectas:

1) y=2x+1; 2) y=2x-4

Solución…

Puesto que ambas rectas están expresadas de la forma: y=mx+b es fácil determinar su pendiente (m), que en este caso es 2 Para que sean paralelas recuerda que su pendiente debe ser igual (coeficiente de x).

De lo anterior deducimos que una recta PERPENDICULAR a las otras dos tendría una pendiente: m = -1/2

Un punto de una de las dos rectas, por ejemplo de: y=2x+1 sería:

Si x=1; entonces: y=(2)(1)+1=2+1=3; por lo tanto las coordenadas de uno de sus puntos son: P(1, 3)

Entonces si ya conocemos las coordenadas de un punto P(1, 3) y ya tenemos la ecuación de la otra recta: y=2x-4 que es PARALELA podemos aplicar la fórmula de Descartes para calcular la distancia entre un punto y una recta, solo necesitamos expresar la ecuación de la recta 2) en la forma general para saber cuáles son los valores: A, B y C.

Procedamos pues…

y=2x-4

-2x+y+4=0; por lo tanto: A=-2; B=1; C=4

Ahora sí, sustituyendo datos en la fórmula de Descartes…

d= |(-2)(1)+(1)(3)+4|/±√[(-2)2+(1)2]

d= |-2+3+4|/±√[4+1]

d= |5|/±√5

d= 5/±2.23

d = ± 2.24 Unidades.

Pero… qué tal si comprobamos el resultado anterior encontrando dos puntos por donde pase una perpendicular a ambas rectas y aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, también ¡Obvio! de R. Descartes.

Hagámoslo… Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

2 12 2009

Tema 23_c. Distancia de un punto a una Recta.

¿Que cómo lo hizo don René Descartes?

¡Bah! Como no tenía nada más importante que hacer (debes saber que en el año 1620 (±) no había computadoras, internet para “chatear”, cine, “discos”, y demás distractores comunes de la actualidad), entonces inventó una fórmula (¡Bendito Dios!) para calcular más fácil, rápidamente y con precisión (sin reglas, escuadras ni compás) la distancia de un punto a una recta. Es la fórmula que te muestro a continuación.

Pero… ¿Cómo interpretarla? ¿Quién demonios es A, B y C? y ¿quién es X e Y? ¿Y qué con las dos barritas verticales que encierran al numerador?

A, B y C, son los coeficientes de la ecuación general de la recta hacia la cual quieres determinar la distancia (la pared). X e Y son las coordenadas del punto desde el cual quieres calcular la distancia (o sea tu persona); las dos barritas verticales que encierran al numerador indican un valor absoluto, es decir que no importa el signo del resultado de la operación.

Para nuestro caso tenemos el punto: P(1, 6) y la recta: y=x-2, entonces…

Primero convirtamos la ecuación y=x-2 que está expresada de la forma y=mx+b, a la forma Ax+By+C=0 (forma General de la ecuación de una recta). Para hacerlo simplemente “pasamos” todos los términos del lado izquierdo del signo igual.

y=x-2, trasponiendo y reacomodando términos quedaría…

-x+y+2=0; por lo tanto: A=-1; B=1 y C=2

Y del punto P(1, 6); x=1; y=6; sustituyendo en la fórmula quedaría:

d= |(-1)(1)+(1)(6)+2| / ±√[(-1)2+(1)2]
d = |-1+6+2| / ±√[1+1]
d =|7| / ±√2
d = 7 / ±1.4142

d = 4.94 Unid. (Metros, centímetros, kilómetros o lo que se te pegue la gana en unidades de longitud).

Exactamente lo mismo que con el procedimiento descrito en los temas anteriores.

¿¡Qué tal!? A poco no es más sencillo…

sOLo pOr pRAcTICAr reSUeLVe LOs sIGUIeNTes eJErCIciOS. Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

27 11 2009

Tema 23_b. Distancia de un punto a una Recta.

¿Entonces cómo lo hizo? ¿Cómo determinó Descartes la pendiente (m) de la recta que es perpendicular a la recta: y=x-2?

¡Fácil! ¿Recuerdas el tema de perpendicularidad entre dos rectas?

DistPUNTOrecta4Dos rectas expresadas de la forma: y=mx+b son perpendiculares entre sí, si sus pendientes son inversas y de signo contrario (o recíprocamente inversas y de signo contrario), es decir, si por ejemplo una tiene pendiente igual a: 2, la otra deberá tener una pendiente igual a: -1/2. Otro ejemplo: si una tiene una pendiente de 4/5 la otra tendrá una pendiente de -5/4 Por lo tanto para el caso que tenemos en donde conocemos la recta y=x-2; cuya pendiente es 1 (coeficiente de x) la perpendicular a ella debe tener una pendiente de: – (1/1)= -1

Entonces ya tenemos los datos necesarios para determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta: y=x-2, y son: P(1, 6) y m=-1; los cuales sustituyéndolos en la fórmula de Descartes: y-y1=m(x-x1) quedaría:

y-6=-1(x-1)

y = -x+1+6
y = -x+7

Bien… ya tenemos las dos ecuaciones que nos permiten determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas que representan.

1) y = x-2
2) y = -x+7

Al colocar las dos ecuaciones (juntándolas de la manera anterior) se forma un sistema de ecuaciones lineales de primer grado, mediante el cual, al resolverlo, se determina un valor para x y otro para y, que son precisamente las coordenadas del punto de intersección entre ambas rectas. Para hacerlo utilizaremos el método de igualación, pero igual puedes utilizar otro procedimiento por ejemplo el de reducción.

Si y=y, entonces:

x-2=-x+7; resolviendo quedaría… Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

23 11 2009

Tema 23_a. Distancia de un punto a una Recta.

Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia de ti hacia la pared más próxima, contestarías midiéndola en línea recta hacia qué punto de ella?

Lo cierto es que cuando se trata de distancias el que pregunta (o contesta) debe ser muy claro en su cuestionamiento (o respuesta), porque no es igual medirla de ti al punto más alto de una pared, o al más bajo o hacia un lado o hacia otro.

DistPUNTOrecta1aSi el que te pregunta no especificara el lugar de la pared al que quisiera saber la distancia, entonces, lo más lógico es medirla en línea “recta” al punto de la pared más cercano a ti.

Entonces, de la figura… ¿Cuál de las tres rectas determina la distancia de la persona a la pared mostrada?

Evidentemente la recta dos.

Ahora bien, la recta 2 tiene una característica “especial” respecto de las demás, es PERPENDICULAR de la pared hacia ti (o viceversa). Entonces, cuando se trate de medir físicamente la distancia de una persona hacia una pared de la cual no se especificó ningún punto, la medición debe hacerse siempre en forma perpendicular.

Todo lo anterior expresado “matemáticamente” significaría que:

La distancia de un punto a una recta siempre tiene que medirse en forma perpendicular a los objetos a los que se hace referencia.

Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu cabeza a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared hacia tu cabeza.

Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu rodilla a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared a tu rodilla.

Etc, etc, etc.

Ahora bien, si relacionamos lo anterior con don René Descartes, tendríamos que colocar todo en un Sistema Coordenado Cartesiano de la siguiente manera… Leer el resto de esta entrada »





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20 10 2009

La Parábola. Episodio 3.

Actualización: Octubre 19 de 2009
Fecha de publicación inicial: Diciembre 12 de 2007

El final.

Ahora bien en la “fórmula” de Descartes (X2=4pY) el valor de p siempre es la distancia que existe del vértice al foco, y el foco para el caso de la parábolas con vértice en el origen puede ser que esté en el eje de las X o en el de las Y, y puede ser también que tenga valor sea positivo o negativo, todo depende de cómo y hacia donde se abre la Parábola.

4CasosParVOSi la Parábola se abre hacia arriba p es mayor que cero. Si se abre hacia abajo p es menor que cero. Si se abre hacia la derecha p es mayor que cero. Si se abre hacia la izquierda p es menor que cero.

Todo lo anterior parte de un a-na-li-sis de las figuras.

Volviendo al problema que nos ocupa, si tenemos: Y=2X2, reacomodando términos es igual a: X2=(1/2)Y, la cual se parece a: X2=4pY, ecuación que representa a una Parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. También por simple inspección puedes ver que en ambos casos los coeficientes de Y (términos que la “acompañan”) son: ½, y 4p. A partir de esto puedes igualarlos y obtener:

½ = 4p; (½)/4 = p; 1/8 = p; o bien: p = 1/8

Por lo tanto el Foco se encuentra a una distancia de 1/8 respecto del vértice y es positivo.

De todo lo anterior deducimos lo siguiente:

La Parábola tiene su eje sobre el eje de las Y; se abre hacia arriba, puesto que p es positivo; las coordenadas del Foco son (0, 1/8); la longitud de su lado recto es:

I 4p I=I4(1/8)I=I4/8I=I1/2I=0.5;

La ecuación de la Directriz es: y=-1/8

Ves que fácil es, y todo lo anterior puedes determinarlo por simple inspección de la ecuación particular de una Parábola, complementándolo con algunas operaciones matemáticas sencillas.

The End.

Solo por practicar resuelve los siguientes ejercicios por simple inspección… nada de darle valores a X y obtener valores de Y o viceversa. Solo aplica tu inteligencia y al ver la ecuación deduce: hacia donde se abre, la distancia del vértice al foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

Y=X2
Y=5X2
X=4Y2
X=6Y2
Y=-X2
Y=-5X2
X=-4Y2
X=-6Y2

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17 10 2009

La Parábola. Episodio 2.

Actualización: Octubre 17 de 2009
Fecha de publicación inicial: Diciembre 11 de 2007

Sus partes y un problema resuelto.

La siguiente figura es una parábola con sus partes principales. Si te sirve apréndetelas de memoria.

ParábolaVO75Foco. Es un punto localizado al “interior” de la curvatura de la Parábola. Físicamente es el punto hacia donde se refleja o “rebota” todo aquello que “choca” con su cara. La distancia del vértice al foco se conoce como p.

Lado Recto. Es la distancia que hay entre dos puntos simétricos de la parábola con la condición de que se mida pasando por el foco en forma paralela a la Directriz.

Directriz. Recta desplazada a la misma distancia p del vértice pero en sentido contrario. Perpendicular al eje de la parábola.

Vértice. Punto desde donde se “abre” la Parábola. La Geometría Analítica de don René Descartes permitió trabajar con ocho casos de Parábolas (por lo menos son los más básicos). Las que se abren a la derecha, a la izquierda, hacia arriba y hacia abajo e igual número de casos para cuando tienen su vértice fuera del origen.

Parábolas con vértice en el origen.

Según Descartes hay dos ecuaciones principales que rigen geométricamente a las parábolas con vértice en el origen, a saber: Y2=4pX, y X2=4pY.

Después te explico cómo las obtuvo por el momento aprende a utilizarlas.

Grafiquemos la ecuación particular de una Parábola en la forma tradicional (dando valores a X y obteniendo valores de Y).

Y=2X2

Asignando valores arbitrarios a X… Leer el resto de esta entrada »








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