Tema 13. Áreas.
Bajo una curva limitada por dos rectas.
Parte 3.
Evidentemente los problemas anteriores (Partes 1 y 2) podríamos haberlos resuelto sin hacer uso de técnicas modernas como la del Cálculo Integral, no obstante hay casos (imagen izquierda) que resultaría complicado resolver por métodos antiguos.
¿Cómo determinarías el área limitada por las dos rectas, la parábola y el eje de la X’s? (Áreas gris obscura y gris clara).
Sin duda el resultado es la suma de tres áreas, la primera de izquierda a derecha es la correspondiente a la recta: y=4x+12; la segunda correspondería a la curva: y = (x2/8)+3; y la tercera correspondiente a la recta: y=-4x+12
Pero… ¿de dónde a dónde? es decir: ¿de qué punto a que punto del eje X debemos calcular el área bajo las rectas y la curva?. Eso es parte del problema, y para solucionarlo debemos recurrir a las matemáticas básicas.
Para determinar el punto de intersección de la recta y = 4x+12 con el eje X’s, simplemente hacemos y=0; por lo que la expresión quedaría:
0 = 4x+12
es decir:
4x = -12
x = -12/4
x = -3
Tenemos pues que la recta: y = 4x+12 intersecta al eje X’s en -3
Ahora la pregunta es: ¿en qué valor de X se intersectan la recta y=4x+12 y la curva y=(x²/8)+3?
En este caso procederemos a hacer una igualación de ambas ecuaciones.
Decimos: y=y, entonces…
4x+12 = (x²/8)+3
4x-x²/8 = 3-12
(32/8)x-(1/8)x² = -9
32x-x² = (-9)(8) = -72
32x-x²+72 = 0
Reordenamos y cambiamos signos a toda la expresión, lo cual no la altera obviamente.
x²-32x-72 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado que resultó, utilizando la denominada ecuación cuadrática (A=1; B=-32; C=-72)
Xa,b = { -(-32) ± √ [(-32)² - 4(1)(-72)] } / [(2)(1)]
Xa,b = {32 ± √ [1024 + 288] } / [2]
Xa,b = {32 ± √ [1312] } / 2
Xa,b = {32 ± 36.221} / 2
Xa = 34.11
Xb = -2.11
Evidentemente el valor que tomaremos es el de -2.11
Con los valores: X = -3 y Xb = -2.11 ya podemos formar nuestra primera integral, la cual quedaría:
Ahora bien, para la segunda integral necesitamos conocer el punto de intersección de la curva: y = (x²/8)+3 con la segunda recta y = -4x+12 para lo cual procederemos igual que el caso anterior, igualemos ambas ecuaciones.
(x²/8)+3 = -4x+12
(x²/8) = -4x+12-3 = -4x+9
x² = (-4x+9)(8)
x² = -32x + 72
x² +32x -72 = 0
Resolviendo la ecuación quedaría…
Xa,b = { -32 ± √ [(32)² - 4(1)(-72)] } / [(2)(1)]
Xa,b = { -32 ± √ [1024 + 288] } / 2
Xa,b = { -32 ± √ [1312] } / 2
Xa,b = { -32 ± 36.221 } / 2
Xa = { -32 + 36.221 } / 2 = 2.11
Xb = { -32 – 36.221 } / 2 = -34.11
Evidentemente el valor que debe interesarnos es el de 2.11 por lo que nuestra segunda integral quedaría…
Y para la tercera integral necesitaremos el valor del punto de intersección de la recta: y=-4x+12 con el eje X’s, para lo cual procederemos a igualar la ecuación a cero.
0 = -4x+12
4x = 12
x = 12/4 = 3
x = 3
Así que nuestra tercera y última integral quedaría…
Luego entonces la suma de las tres integrales nos dará el área buscada.
Saltémonos los pasos correspondientes a la resolución de las integrales y vayámonos directamente a los resultados de cada una.
1.5842 + 13.4428 + 1.5842 = 16.6112 U²
Tenemos pues que el área buscada es: 16.6112 U²
Es así como deben trabajarse este tipo de problemas, a veces en una sola integral y a veces en varias y por partes.
Software utilizado:
Photoshop, Picpick, Paint.
Página para graficar en línea: fooplot.com
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