Tema 22. Problemas de Máximos y Mínimos.
Por fin!!!! llegamos a lo primordial del Cálculo Diferencial, su aplicación estrella, Máximos y Mínimos.
¿Qué es un Máximo y que un Mínimo? Resp. breve. Un Máximo es el punto más alto de una curva, un Mínimo es el punto más bajo.
Bien… hagamos un ejercicio al respecto.
1). El Ranchero “Afama´o”.
Érase una vez “un ranchero afama´o, de botas, chamarra y sombrero colora´o”, que construyó un corral con malla de gallinero en un terreno de 10×10 Mts (100 Mt2). El hombre había decidido incursionar en el negocio de la compra-venta de gallinas, las cuales compraba un día y vendía después. Fue a una ferretería y compró 20 Mts de malla de alambre, luego dijo: “Po´s hay, hasta ´onde alcance pa´ formar el gallinero”. Llegó a su terreno e iniciando en una de las esquinas del mismo enterró cuatro postes de madera formando un rectángulo de 2 Mts de frente por 8 de fondo. Si sabes sumar (espero que si) te darás cuenta que sumando todos los lados del rectángulo el total es de 20 Mts, mismos de la malla que compró.
Las preguntas son:
1. ¿Cuántas gallinas caben en el gallinero del ranchero “afama´o” considerando que cada una ocupa un espacio de 30×30 Cms?
2. ¿Acaso el ranchero “afama´o” tenía otra mejor opción para construir el gallinero, de manera que cupieran más gallinas en una cerca rectángular?
Solución…
1. Apliquemos la matemática tradicional.
El área total es 2×8= 16 Mts2. Si un Mt2 tiene 100×100 Cm. o sea 10,000 Cm2 entonces aplicando una “regla de tres simple” quedarían:
16 Mt2 (10,000 Cm2)/1 Mt2 =160,000 Cm2 Dividiendo esta cantidad entre 30×30=900 Cm2 que ocupan cada gallina quedarían:
160,000/900 = 177.77 gallinas. El .77 es una gallina incompleta, ¡total! le arrancas el pescuezo a una y listo (no creas esto último). Ok´. En conclusión caben más o menos 177 gallinas completas.
2. ¿El ranchero “afama´o” tenía otra mejor opción para construir su gallinero con los 20 Mts. de malla?
Apliquemos el cálculo diferencial.
Primero construyamos la ecuación que rige el proceso.
Supongamos un gallinero que tenga por lados X e Y de la siguiente manera…
El área en este caso sería A=(X)(Y) ¿de acuerdo?
El Perímetro (suma de los lados del rectángulo) de la figura sería: X+Y+X+Y el cual debe tener un valor de 20 Mts, entonces:
Per=X+Y+X+Y=20=2X+2Y ¿Ok´?
Entonces: 2X+2Y=20
Pues bien ya tenemos dos ecuaciones relacionadas con el problema del ranchero:
1) A=(X)(Y); y,
2) 2X+2Y=20
Manipulemos ambas ecuaciones. Despejemos Y de la segunda ecuación y sustituyámosla en la primera. ¿Por qué la segunda en la primera y no al contrario? R. Porque buscamos Maximizar el Área, siendo ésta la que debemos DERIVAR. Entonces quedaría:
Y=(20-2X)/2=10-X Sustituyendo Y en la primera ecuación queda:
A=(X)(10-X)=10X-X2
Ok´ ahora tenemos una tercera ecuación que involucra tanto al perímetro como al área del dichoso gallinero.
A=10X-X2
Bien, entonces para encontrar el Máximo de esta Área derivémosla… quedaría:
d(Área)/dx=10-2X o sea A´=-2X+10; Recuerda que la derivada es la pendiente “general” de la curva…
Ahora igualemos esta pendiente “general” a cero para encontrar el punto en el que su tangente es horizontal, ahí obtendremos un Máximo… o un Mínimo o ambos si la expresión fuera distinta… entonces:
-2X+10=0; despejando X queda:
X=10/2=5
¿Qué quiere decir este valor? Quiere decir que el frente del gallinero (o sea X) debe ser de 5 Mts.
Por lógica si el frente es de 5 Mts, igual es el fondo y los lados, sumando todo: 20 Mts. También puedes encontrarlo matemáticamente utilizando la ecuación 2) Y=10-X=10-5=5 Mts.
Pero… ¿cómo demonios saber si efectivamente es un área mayor que la primera obtenida? ¡Bah! simplemente multiplica lado por lado y obtén la nueva área, entonces:
Área=5×5=25 Mt2 Esta nueva área comparada con la primera que es de 16 Mt2 a todas luces es mucho mayor. Pero… ¿y cuantas gallinas cabrían en ella?
Aplicando la “regla de tres simple” quedaría:
25 Mt2 (10,000 Cm2)/1 Mt2 =250,000; este resultado entre los 900 Cm2 que ocupa cada gallina quedaría:
277.77 Gallinas.
¡Nada más y nada menos que 100 gallinas más! Y sin embargo es la misma cantidad de malla para el gallinero, o sea que la inversión en material es igual pero el espacio obtenido para meter gallinas es mayor ¿Qué tal?.
¡Ah! si “el ranchero afama´o de botas, chamarra y sombrero colora´o” hubiera “estudia´o” Cálculo Diferencial en un CBTis, Cetis, CBTA, CETMAR, etc, etc. hubiera “gana´o” más dinero.
© Ing. I. Guerrero Z.
Estimado Ing. Guerrero:
Primero que nada Ing. Guerrero me gustaría decirle que me agrada mucho su página, así es como nos deberían de enseñar en la escuela con ejemplos claros y sobre todo prácticos como el del ranchero afama´o, si yo hubiera aprendido calculo diferencial de esta forma tenga por seguro que lo aplicaría con mayor frecuencia en la vida cotidiana, sin embargo cuando termine mi carrera me quede con la idea de que haber llevado cálculo diferencial e integral había sido un total desperdicio de tiempo, en fin….
Inge Guerrero tengo una pequeña opinión respecto el problema del ranchero afama´o, creo que si el ranchero hubiera hecho el corral de manera circular obtendría una mayor área por lo siguiente:
El ranchero tiene los mismos 20 metros lineales de malla de alambre, ó sea que el perímetro de cualquier forma del corral debe de ser de 20.
La formula del perímetro de un círculo es de:
P=Л*D
Donde:
Л= Pi (3.1416).
D= Diámetro.
Si consideramos que el perímetro es una variable que tiene que ser constante ya que solo tenemos 20 metros de malla queda así:
20=Л*D
En la ecuación solo nos queda una incógnita, que cumple la regla; de que para resolver las incógnitas de distintas ecuaciones se tiene que tener una ecuación por cada incógnita en fin….Entonces nos quedaría así:
D=20/ Л
D=6.36m
Esto nos dice que el ranchero debió de haber hecho un corral circular de 6.36m de diámetro lo cual nos daría un área de:
A= (Л* D2 )/ 4
A=31.76 m2
Se podrían utilizar los mismos 4 postes ubicados equidistantemente en el corral circular. Lo anterior le daría mayor área al ranchero para su criadero de gallinas, de todas formas yo se que su ejemplo es educativo pero quería que usted analizara la posibilidad de que podría ser de esta forma en fin… Agradezco de antemano su atención y aahhhh se me estaba olvidando usted me podría decir donde conseguir algún libro o sitio en Internet donde pueda encontrar mas casos prácticos como este ya que viendo las matemáticas aplicadas me son mas agradables. GRACIAS.
——————-
Hola Alonso…
Muy buena solución para el ranchero afama´o, de botas, chamarra y sombrero colora´o, que no requiere aplicar el cálculo diferencial. Para evitar “detalles” agregaré al problema la palabra rectangular para “delimitar” su solución a esta figura particular. De cualquier manera es muy buena tu aportación puesto que va en el sentido de encontrar soluciones a los problemas independientemente de lo que traten e independiente de la estrategia que se siga ¿cuántas veces intentando aplicar una metodología particular nos tardamos horas para encontrar la respuesta a un problema cuya solución requiere solo matemáticas básicas? Igual para este problema bien podría haberse resuelto por “prueba y error” hasta llegar al mismo resultado.
Ahora bien, respecto de la pregunta que me haces acerca de donde puedes encontrar problemas similares, no conozco ninguna página que los maneje igual. Es mi estilo personal intentando hacer menos “frío” el cálculo diferencial. En la medida de mi tiempo continuaré construyendo problemas así, bromeando con el cálculo diferencial, a ver si consigo interesar a los estudiantes en esta disciplina.
Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
Alonso. puedo recomendarte un libro que compre, se llama algebra y trigonometria del autor Sullivan de la editorial prentice hall 7ª ed. , aunque su titulo no sugiere cálculo. Maneja capitulos muy interesantes de construccion de funciones, biene con aplicaciones en máximos y mínimos reales , tales como las que presenta el Ing. Guerrero el cual, le envio un respetuoso saludo. ya que me ayudan mucho sus ejemplos para desarrollar mis clases.
saludos de juarez mx.