Tópicos de Cálculo Diferencial.

1 03 2008

Tema 12. Regla de los 4 Pasos y un Tropezón.

ACTUALIZACIÓN AQUÍ…

Nunca acabaré de entender por qué muchos escritores de temas técnicos (en particular de matemáticas) complican tanto algunas cosas. La Regla de los 4 pasos es un método que parte de un razonamiento simple, para qué enredarlo con tantos “rollos” matemáticos. Aquí te daré una interpretación –es mi forma de entender la dichosa regla- y espero no “caer” en lo mismo que cuestiono.

¿Recuerdas como se determina la pendiente de una recta…? por si no lo recuerdas te pondré la “fórmula”: m = (y2-y1)/(x2-x1), pero… ¿de donde salió esta expresión? Te lo explico en la figura…

PendienteTienes dos puntos (P1 y P2) y sus respectivas coordenadas (x1, y1); (x2, y2).

Con P1, P2, ∆x y ∆y se forma un triángulo rectángulo.

¿Y de donde diablos salieron los catetos: ∆y y ∆x? Respuesta. Del cerebro de Newton y Leibniz tratando de “apantallar” a los Pitagóricos de esa época. Pero igual puedes poner en un cateto a Caperucita Roja huyendo del lobo feroz hacia P1 y en el otro a la Cenicienta contando los segundos antes de romperse el hechizo y también funciona.

∆x es igual a x2-x1, mientras que ∆y es igual a y2-y1. En otras palabras, siempre debe ser coordenada final menos coordenada inicial, esto, según don René Descartes.

También sabes que: tg α = (y2-y1)/(x2-x1); e igual conoces que: tg α = m; por lo tanto: m = (y2-y1)/(x2-x1) Pero ya sabemos que y2-y1 es igual a ∆y; y que x2-x1 es igual a ∆x, por lo tanto: m = ∆y/∆x

Bien… ya tenemos algo “nuevo”, resulta que también la pendiente es igual a ∆y/∆x ( se lee delta o incremento).

Ahora relacionemos esta nueva expresión con la ecuación de una recta.

Sea la ecuación: y=2x+4 ¿Cuál es la pendiente de la recta que representa?

¡¡¡OBVIOOOO!!! La pendiente es 2 (puesto que la ecuación tiene la forma y=mx+b). Entonces, si m=2 por lo tanto: ∆y/∆x=2 ¿De acuerdo?

“Juguemos” un poco con Álgebra, manipulando la ecuación y=2x+4. Hagamos lo siguiente: apliquemos un incremento a la variable x y un incremento a la variable y de la siguiente manera.

El incremento que daremos a x será: ∆x, el incremento que daremos a y será: ∆y

Entonces…y + ∆y = 2 (x + ∆x ) + 4

Reacomodando términos y simplificando… ∆y = 2x + 2∆x + 4 – y

Pero: y = 2x+4, por lo que sustituyendo queda…

∆y = 2x + 2∆x + 4 – 2x – 4

Eliminando términos queda… ∆y = 2∆x

“Pasando” ∆x del otro lado, queda…

∆y/∆x = 2

¡Ohhh!, ¡la catorceava maravilla! comprobamos que existe otra manera ¡más larga!, ¡tediosa! y ¡aburrida! de llegar al mismo 2 que habíamos determinado visualmente en la ecuación: y=2x+4.

Pero ¿Qué caso tiene hacer esto si con solo ver la ecuación y = 2x+4 se sabe que la pendiente de la recta es 2.

Bueno… sucede que en la ecuación de una curva –como debes recordarlo- la pendiente no se puede conocer directamente y este procedimiento que acabamos de aplicar ¡bendito Dios! nos ayuda a obtenerla.

Apliquemos el mismo procedimiento de incrementar a X e Y pero en una curva… por ejemplo: y = x2

Demos un incremento a x, y luego a y, quedando…

y + ∆y = (x + ∆x)2

Desarrollando el binomio, reacomodando y simplificando queda…

∆y = x2 + 2x∆x + (∆x) 2 – y

∆y = x2 + 2x∆x + (∆x) 2 – x2

∆y = 2x∆x + (∆x) 2

Factoricemos…

∆y = ∆x (2x + ∆x)

Simplifiquemos…

∆y/∆x = ∆x (2x + ∆x)/∆x

∆y/∆x = 2x + ∆x

Tg-SecLa expresión anterior es la pendiente de una Secante a la curva y = x2 ¿cuál Secante? la que se te pegue la gana, con la condición de que uno de sus dos puntos (los que tocan a la curva) sea el mismo que el de la Tangente.

Ahora bien, hagamos un “truco” para obtener la pendiente general de la Tangente. Simplemente hacemos que ∆x “tienda” a cero.

En términos físicos lo anterior significaría recorrer un punto de la Secante hasta que hiciera “contacto” con el de la Tangente, es así como la Secante se convertiría en Tangente por obra y gracia de Newton y Leibniz. Por esta idea ambos personajes podrían haber recibido el premio Nobel, solo que en ese entonces no existía tal galardón.

Hagamos pues que ∆x tienda a cero…

Aplicando límite cuando ∆x → 0, queda…

Lim (2x + ∆x) = 2x + 0 = 2x
∆x → 0

Pero… ¿Y el 2x que resulta? ¿cómo debemos interpretarlo?

Sucede que 2x es la pendiente “general” de la curva y=x2; en el cual solo hay que sustituir un valor de x, y obtener entonces la pendiente particular de la tangente a la curva en dicho punto…

Por ejemplo, ¿si x=3 cuál es la pendiente de la tangente a la curva: y = x2?

m=2x=2(3)=6

¿Si x=1 cuál es la pendiente de la tangente a la curva: y = x2?

m=2x=2(1)=2

Y así sucesivamente…

Al procedimiento anterior se le llama REGLA DE LOS CUATRO PASOS, y es, digamos, el procedimiento básico para obtener la derivada de una función.

Pero… hay formas más fáciles de obtener lo mismo las cuales provienen precisamente de la observación. Después de haber resuelto miles de problemas Newton, Leibniz y asociados –como no tenían nada más importante que hacer (ya ves que en ese entonces no había internet para “chatear” con amiguit@s, ni tv, ni cine, ni radio, ni juegos de nintendo, mucho menos Wii)- inventaron fórmulas que facilitaron el cálculo de las derivadas, las cuales veremos más adelante, mientras tanto, aprende bien lo anterior resumido en lo siguiente.

Regla de los 4 pasos.

1. Asigna incrementos (∆x, ∆y) a ambas variables.
2. Reacomoda, simplifica y resta el valor de y.
3. Divide entre ∆x.
4. Aplica limite cuando ∆x → 0

Solo por practicar calcula la derivada de cada función y obtén la pendiente en x=5

Y=x3
Y=4x2
Y=6x+2
Y=x2+x+6
Y=3x2+4x+2

Para el caso de polinomios (p. ej. Y=x2+x+6) deriva cada una de sus partes. Estas derivadas son fáciles después pondré ejercicios más complicados.

logowpnegroamarillo

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12 respuestas

8 06 2009
kary

hola , mucho gusto, primero que nada quiero agradecerle por este valioso topico, me ayudo mucho en mi examen de ahora.
Visitare mas seguido la pagina para cualquier duda que tenga de matematicas, esta muy bien explicado el tema y muy facil de entender ademas de ser muy ameno y divertido, enserio mil gracias y te mereceses mil aplausos por muy buena explicacion tan amena de esta materia que para muchos se nos hace dificil.

17 05 2009
Gabriela

Hola ingeniero me parece muy interesante su forma de explicar a mi me ha sacado de muchas dudas para resolver los diferentes problemas que me han dejado de tarea gracias

21 05 2012
oscar

si total mente de acuerdo con tigo me gustaría que subas unas derivadas mas difíciles pero una explicada una bien difícil.
……….

Hola Oscar…
Aunque no es el propósito del Blog, quizá lo haga más adelante si el tiempo me lo permite.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

24 04 2009
jose

ooooooooohhhhhhhh esto me salvara la vida graacias.

5 03 2009
Jessica.

son un asco los numeros, y estoy cursando 4to semestre de prepa, pero aqui en su blog encontre muuuchisisisimas respuerstas claras.
gracias.. ojala que siga publicando material.. creo que comenzaran a gustarme las matematicas.
gracias!

14 02 2009
Hector Esau

HOLA ING. I GUERRERO.
LA PAGINA ESTA EXELENTE ME AYUDO DEMASIADO, GRACIAS POR SUS BUENAS EXPLICACIONES, ME GUSTARIA QUE DEJARA SU MSN… PARA CONTACTARNOS USTED TIENE MUY BUENAS IDEAS.
A.T.T.E.
ALM. HECTOR ESAU H. M.
…………..

Hola Hector…
Me gustaría dejar no solo mi MSN, sino abrir un chat exclusivo para el Blog, lamentablemente no me alcanzaría el tiempo para atender a todas las personas que preguntarían al ver la posibilidad directa e inmediata de hacerlo.
Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

22 01 2009
alma

hola.. pues la vd ztoi dezezperada en trez diaz tenog examen global d calculo diferencial y no c nada… agradeceria mucho zi m hazez llegar como puedo rezolver limitez.. regla de loz 4 pazoz… regla de la cadena… y derivadaz… la verdad me urge… te lo agradeceria mucho… graciaz,
zi lo ze ya lei pero.. no ze algo maz detallado y pazo por pazo… zolo en cuanto a derivadaz.. regla d 4 pazoz queda entendido mil graziaz tu pag me ezta ayudando mucho… =)
…………

Hola Alma…
Los temas están en este enlace: http://iguerrero.wordpress.com/category/topicos-de-calculo-d-e-i/
es cuanto puedo hacer por ti además de desearte buena suerte.
Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

17 12 2008
Hernan Sanchez

No pueden pasar las respuestas de las ecuaciones? solo para comprobar. Por cierto, esta muy bueno tu artículo, por fin entiendo como resolver derivadas. Gracias!
………..

Hola Hernan…
¡Felicidades! Para soluciones solo deja unos segundos el puntero del ratón encima del problema y aparecerá la solución.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

30 04 2008
Jotre Orellana

Muchas gracias Ing. le agradezco su atencion y su delicadeza .

30 04 2008
Jotre Orellana

Ing un favor especial puede ayudarme con un ejemplo facil de explicar aplicado a la administracion empresarial de calculo diferencial . nuchas gracias

Nota : le agradeceria infinitamente Ing.

…………………….

Hola Jotre…

Lo siento, me encantaría pero… dos cosas…

1. Si lo hago contigo creeme que no me ajustaría la vida resolviéndoles problemas a mis alumnos y a los estudiantes de otras escuelas incluso fuera del país.

2. La idea no es resolver problemas aquí, más bien es despertar y fomentar el gusto por el cálculo diferencial y nada más. Sé que para hacerlo forzosamente tengo que resolver algunos problemas pero son los estrictamente necesarios.

No descarto la posibilidad de hacerlo más adelante -conforme a mis tiempos- y quizá lo haga en todas las áreas.

Por el momento te recomiendo busques en páginas, por ejemplo: http://usuarios.lycos.es/calculodiferencial/

Te envío saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

8 04 2008
lusy

graxias,,, resolvio mis dudas.

4 03 2008
Diana Mortera Arellano

Ing., buenos días. Me he tomado el atrevimiento de copiar los tópicos de cálculo diferencial e integral ya que tengo en mente ingresar a la universidad a estudiar la carrera de Ing. Ambiental y verificando el cuadro de materias, viene la materia de cálculo, así que me quiero adelantar un poquito en estudiar la materia, ya que la encontré bastante bien explicada. Ahora, quisiera pedirle un favor muy grande, podría usted ayudarme con los siguientes temas de matemáticas (Geometría analítica)?:
SECCIONES CÓNICAS:
*Circunferencia, parábola, traslación de ejes.
*Elipses.
*Hipérbola, rotación de ejes.
De antemano sé que el blog no lo creó usted para “dar” clases particulares, pero realmente no tengo a quién recurrir, porque aunque mi esposo es Ing. y sabe de éstos temas, trabaja fuera y no tiene tiempo de enseñarme.
Me conformo con un breve resumen pero que me pueda facilitar mi estudio (estoy estudiando en sistema abierto).
De antemano le agradesco infinitamente y le envío un cordial saludo.
Gracias.
Diana Mortera Arellano (Chiapa de Corzo, Chis.)

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