Tópicos de Geometría Analítica.

TEMA 16. Paralelismo entre dos o más rectas.

INICIEMOS NUESTRO ESTUDIO CON UN PROBLEMA.

Grafica las siguientes rectas: Y=2X-1; Y=2X+3; Y=2X+7

De los valores que asignes a X -independientemente de cuales sean- resultarán rectas similares a la gráfica de al lado.

Estamos en Geometría A-na-lí-ti-ca, de tal manera que al analizar la gráfica obtenemos las siguientes conclusiones.

1. En la figura puedes observar que una recta cualquiera de las tres, siempre conserva la misma distancia respecto de las otras, esto nos lleva a la siguiente conclusión elemental (que ya debías conocer con anticipación): dos rectas que son PARALELAS no se cruzan jamás.

2. También podemos concluir a partir de la gráfica que dos rectas PARALELAS tienen sus ángulos de inclinación exactamente iguales con respecto al eje de las X, o si quieres respecto al eje de las Y.

3. Otra conclusión sería: en dos o más rectas PARALELAS las pendientes son exactamente iguales, o sea: m₁=m₂=m₃

Este último dato debes conservarlo en tu memoria, porque te va a servir más adelante.

Ahora retrocede hasta las ecuaciones de las cuales obtuviste su gráfica y busca algo común en las tres que a Don René Descartes le llevó un buen tiempo descubrir.

Trata de descubrirlo tú antes de darle un click a: Leer el resto de esta entrada…

Supongo que lo notaste, el número que aparece antecediendo a la X, (matemáticamente llamado coeficiente),  es el mismo en las tres ecuaciones.

Cuando dos, tres o más ecuaciones estén “acomodadas” en forma semejante a las que son motivo de este análisis, el coeficiente de X es la PENDIENTE de la ecuación. Por lo tanto, por simple inspección de cualquier grupo de ecuaciones podemos concluir si dos o más representan rectas PARALELAS.

Si sus pendientes son iguales, o sea, si el número que antecede a la X es igual en dos, tres o más ecuaciones todas representan rectas paralelas.

Entonces…

4). En una ecuación que esté “acomodada” de la siguiente forma:

Y=5X+1, Y=2X+10; Y=-6X-2; Y=10X+3; Y=4X+5; etc, o más general: 

Y=mX+b,

en donde b puede ser cualquier número (denominado constante arbitraria), incluso puede ser cero, el número que acompaña (multiplica) a la X es la pendiente de la recta.

En realidad no tienes que hacer ningún cálculo para determinar la pendiente de una recta, simplemente con que la “acomodes” de la forma Y=mX+b te darás cuenta de cual es su pendiente y su ángulo de inclinación, y además podrás conocer si dos o más rectas son paralelas. 

Por ejemplo: Sea la ecuación 4X+2Y=10 hallar la pendiente de la recta que representa.

Observa que puedes dividir toda la ecuación entre 2, quedando…

2X+Y=5, luego…

Y=-2X+5

Por lo tanto la pendiente de la recta es -2

¡¡¡Fácil!!!

Determinar si las siguientes ecuaciones representan rectas PARALELAS.

3X+Y=7
4Y=-12X-16

Despejando Y de la primera ecuación queda:

Y=-3X+7

Dividendo la segunda ecuación entre 4 que es el coeficiente de la Y queda:

4Y/4=(-12X-16)/4;

Y=-3X-4

Entonces comparando ambas ecuaciones vemos que:

Y=-3X+7
Y=-3X-4

¡Ambas rectas son PARALELAS!.

Del a-ná-li-sis de las ecuaciones se desprende la siguiente pregunta que nos lleva a algunas conclusiones.

¿Qué es lo que tienes que hacer con una ecuación para saber cual es la pendiente de la recta que representa por este método?

Respuesta: solo tienes que hacerla que se parezca a la ecuación:  Y=mX+b, llamada técnicamente ecuación de la recta en su forma de pendiente y ordenada al origen.

Para ello: 

1. A veces solo tendrás que despejar Y.

2. A veces solo tendrás que dividir toda la ecuación entre un número de tal manera que el coeficiente de la Y se “convierta” en uno (o como se dice comúnmente dicho coeficiente “se elimine”).

3. A veces tendrás que hacer ambas cosas. ¡Lo siento…!

Solo por practicar… resuelve las siguientes ecuaciones y encuentra las que representen rectas paralelas.

1.) 3X+2Y=4
2.) X+2Y=6
3.) 3X-2Y=14
4.) (1/2)X+Y=6
5.) 3X+Y=4
6.) -6X+6Y=6
7.) (3/2)X+2Y=4
8.) -X+Y=6
9.) 12X+4Y=4
10.) X+2Y=10

© Ing. I. Guerrero Z.